算法大全（C，C++） 一、数论算法 1．求两数的最大公约数 function gcd(a,b:integer):integer; begin if b=0 then gcd:=a else gcd:=gcd (b,a mod b); end ; 2．求两数的最小公倍数 function lcm(a,b:integer):integer; begin if a0 do inc(lcm,a); end; 3．素数的求法 A.小范围内判断一个数是否为质数： function prime (n: integer): Boolean; var I: integer; begin for I:=2 to trunc(sqrt(n)) do if n mod I=0 then begin prime:=false; exit; end; prime:=true; end; B.判断 longint 范围内的数是否为素数（包含求 50000 以内的素数表）： procedure getprime; var i,j:longint; p:array[1..50000] of boolean; begin fillchar(p,sizeof(p),true); p[1]:=false; i:=2; while i<50000 do begin if p[i] then begin j:=i*2; while j<50000 do begin p[j]:=false; inc(j,i); end; end; inc(i); end; l:=0; for i:=1 to 50000 do if p[i] then begin inc(l);pr[l]:=i; end; end;{getprime} function prime(x:longint):integer; var i:integer; begin prime:=false; for i:=1 to l do if pr[i]>=x then break else if x mod pr[i]=0 then exit; prime:=true; end;{prime} 二、图论算法 1．最小生成树 A.Prim 算法： procedure prim(v0:integer); var lowcost,closest:array[1..maxn] of integer; i,j,k,min:integer; begin for i:=1 to n do begin lowcost[i]:=cost[v0,i]; closest[i]:=v0; end; for i:=1 to n-1 do begin {寻找离生成树最近的未加入顶点 k} min:=maxlongint; for j:=1 to n do if (lowcost[j]0) then begin min:=lowcost[j]; k:=j; end; lowcost[k]:=0; {将顶点 k 加入生成树} {生成树中增加一条新的边 k 到 closest[k]} {修正各点的 lowcost 和 closest 值} for j:=1 to n do if cost[k,j]0 do begin i:=find(e[q].v1);j:=find(e[q].v2); if i<>j then begin inc(tot,e[q].len); vset[i]:=vset[i]+vset[j];vset[j]:=[]; dec(p); end; inc(q); end; writeln(tot); end; 2.最短路径 A.标号法求解单源点最短路径： var a:array[1..maxn,1..maxn] of integer; b:array[1..maxn] of integer; {b[i]指顶点 i 到源点的最短路径} mark:array[1..maxn] of boolean; procedure bhf; var best,best_j:integer; begin fillchar(mark,sizeof(mark),false); mark[1]:=true; b[1]:=0;{1 为源点} repeat best:=0; for i:=1 to n do If mark[i] then {对每一个已计算出最短路径的点} for j:=1 to n do if (not mark[j]) and (a[i,j]>0) then if (best=0) or (b[i]+a[i,j]0 then begin b[best_j]:=best；mark[best_j]:=true; end; until best=0; end;{bhf} B.Floyed 算法求解所有顶点对之间的最短路径： procedure floyed; begin for I:=1 to n do for j:=1 to n do if a[I,j]>0 then p[I,j]:=I else p[I,j]:=0; {p[I,j]表示 I 到 j 的最短路径上 j 的前驱结点} for k:=1 to n do {枚举中间结点} for i:=1 to n do for j:=1 to n do if a[i,k]+a[j,k]0 then pre[i]:=v0 else pre[i]:=0; end; mark[v0]:=true; repeat {每循环一次加入一个离 1 集合最近的结点并调整其他结点的参数} min:=maxint; u:=0; {u 记录离 1 集合最近的结点} for i:=1 to n do if (not mark[i]) and (d[i]0 then begin mark[u]:=true; for i:=1 to n do if (not mark[i]) and (a[u,i]+d[u]表示，则 Ee[I] = Ve[j]; d. 边活动最晚开始时间 El[I], 若边 I 由表示，则 El[I] = Vl[k] – w[j,k]; 若 Ee[j] = El[j] ，则活动 j 为关键活动，由关键活动组成的路径为关键路径。 求解方法： a. 从源点起 topsort,判断是否有回路并计算 Ve; b. 从汇点起 topsort,求 Vl; c. 算 Ee 和 El; 6．拓扑排序 找入度为 0 的点，删去与其相连的所有边，不断重复这一过程。 例 寻找一数列，其中任意连续 p 项之和为正，任意 q 项之和为负，若不存在则 输出 NO. 7.回路问题 Euler 回路(DFS) 定义：经过图的每条边仅一次的回路。（充要条件：图连同且无奇点） Hamilton 回路 定义：经过图的每个顶点仅一次的回路。 一笔画 充要条件：图连通且奇点个数为 0 个或 2 个。 9．判断图中是否有负权回路 Bellman-ford 算法 x[I],y[I],t[I]分别表示第 I 条边的起点，终点和权。共 n 个结点和 m 条边。 procedure bellman-ford begin for I:=0 to n-1 do d[I]:=+infinitive; d[0]:=0; for I:=1 to n-1 do for j:=1 to m do {枚举每一条边} if d[x[j]]+t[j]=best then exit; {s[n]为前 n 个物品的重量和} if k<=n then begin if v>w[k] then search(k+1,v-w[k]); search(k+1,v); end; end; l DP F[I,j]为前 i 个物品中选择若干个放入使其体积正好为 j 的标志，为布尔型。 实现:将最优化问题转化为判定性问题 f [I, j] = f [ i-1, j-w[i] ] (w[I]<=j<=v) 边界：f[0,0]:=true. For I:=1 to n do For j:=w[I] to v do F[I,j]:=f[I-1,j-w[I]]; 优化：当前状态只与前一阶段状态有关，可降至一维。 F[0]:=true; For I:=1 to n do begin F1:=f; For j:=w[I] to v do If f[j-w[I]] then f1[j]:=true; F:=f1; End; B.求可以放入的最大价值。 F[I,j] 为容量为 I 时取前 j 个背包所能获得的最大价值。 F [i,j] = max { f [ i – w [ j ], j-1] + p [ j ], f[ i,j-1] } C.求恰好装满的情况数。 DP: Procedure update; var j,k:integer; begin c:=a; for j:=0 to n do if a[j]>0 then if j+now<=n then inc(c[j+now],a[j]); a:=c; end; 2．可重复背包 A 求最多可放入的重量。 F[I,j]为前 i 个物品中选择若干个放入使其体积正好为 j 的标志，为布尔型。 状态转移方程为 f[I,j] = f [ I-1, j – w[I]*k ] (k=1.. j div w[I]) B.求可以放入的最大价值。 USACO 1.2 Score Inflation 进行一次竞赛，总时间 T 固定，有若干种可选择的题目，每种题目可选入的数 量不限，每种题目有一个 ti（解答此题所需的时间）和一个 si（解答此题所得的 分数），现要选择若干题目，使解这些题的总时间在 T 以内的前提下，所得的总 分最大，求最大的得分。 *易想到： f[i,j] = max { f [i- k*w[j], j-1] + k*p[j] } (0<=k<= i div w[j]) 其中 f[i,j]表示容量为 i 时取前 j 种背包所能达到的最大值。 *实现： Begin FillChar(f,SizeOf(f),0); For i:=1 To M Do For j:=1 To N Do If i-problem[j].time>=0 Then Begin t:=problem[j].point+f[i-problem[j].time]; If t>f[i] Then f[i]:=t; End; Writeln(f[M]); End. C.求恰好装满的情况数。 Ahoi2001 Problem2 求自然数 n 本质不同的质数和的表达式的数目。 思路一，生成每个质数的系数的排列，在一一测试，这是通法。 procedure try(dep:integer); var i,j:integer; begin cal; {此过程计算当前系数的计算结果，now 为结果} if now>n then exit; {剪枝} if dep=l+1 then begin {生成所有系数} cal; if now=n then inc(tot); exit; end; for i:=0 to n div pr[dep] do begin xs[dep]:=i; try(dep+1); xs[dep]:=0; end; end; 思路二，递归搜索效率较高 procedure try(dep,rest:integer); var i,j,x:integer; begin if (rest<=0) or (dep=l+1) then begin if rest=0 then inc(tot); exit; end; for i:=0 to rest div pr[dep] do try(dep+1,rest-pr[dep]*i); end; {main: try(1,n); } 思路三：可使用动态规划求解 USACO1.2 money system V 个物品，背包容量为 n，求放法总数。 转移方程： Procedure update; var j,k:integer; begin c:=a; for j:=0 to n do if a[j]>0 then for k:=1 to n div now do if j+now*k<=n then inc(c[j+now*k],a[j]); a:=c; end; {main} begin read(now); {读入第一个物品的重量} i:=0; {a[i]为背包容量为 i 时的放法总数} while i<=n do begin a[i]:=1; inc(i,now); end; {定义第一个物品重的整数倍的重量 a 值为 1，作为初值} for i:=2 to v do begin read(now); update; {动态更新} end; writeln(a[n]); 四、排序算法 A.快速排序： procedure qsort(l,r:integer); var i,j,mid:integer; begin i:=l;j:=r; mid:=a[(l+r) div 2]; {将当前序列在中间位置的数定义为中间数} repeat while a[i]mid do dec(j);{在右半部分寻找比中间数小的数} if i<=j then begin {若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们} swap(a[i],a[j]); inc(i);dec(j); {继续找} end; until i>j; if la[j] then swap(a[i],a[j]); end; D. 冒泡排序 procedure bubble_sort; var i,j,k:integer; begin for i:=1 to n-1 do for j:=n downto i+1 do if a[j]r) or (a[i]<=a[j])) {满足取左边序列当前元素的要 求} then begin tmp[t]:=a[i]; inc(i); end else begin tmp[t]:=a[j];inc(j); end; inc(t); end; for i:=p to r do a[i]:=tmp[i]; end;{merge} procedure merge_sort(var a:listtype; p,r: integer); {合并排序 a[p..r]} var q:integer; begin if p<>r then begin q:=(p+r-1) div 2; merge_sort (a,p,q); merge_sort (a,q+1,r); merge (a,p,q,r); end; end; {main} begin merge_sort(a,1,n); end. G.基数排序 思想：对每个元素按从低位到高位对每一位进行一次排序 五、高精度计算 高精度数的定义： type hp=array[1..maxlen] of integer; 1．高精度加法 procedure plus ( a,b:hp; var c:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); if a[0]>b[0] then len:=a[0] else len:=b[0]; for i:=1 to len do begin inc(c[i],a[i]+b[i]); if c[i]>10 then begin dec(c[i],10); inc(c[i+1]); end; {进位} end; if c[len+1]>0 then inc(len); c[0]:=len; end;{plus} 2．高精度减法 procedure substract(a,b:hp;var c:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); if a[0]>b[0] then len:=a[0] else len:=b[0]; for i:=1 to len do begin inc(c[i],a[i]-b[i]); if c[i]<0 then begin inc(c[i],10);dec(c[i+1]); end; while (len>1) and (c[len]=0) do dec(len); c[0]:=len; end; 3．高精度乘以低精度 procedure multiply(a:hp;b:longint;var c:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); len:=a[0]; for i:=1 to len do begin inc(c[i],a[i]*b); inc(c[i+1],(a[i]*b) div 10); c[i]:=c[i] mod 10; end; inc(len); while (c[len]>=10) do begin {处理最高位的进位} c[len+1]:=c[len] div 10; c[len]:=c[len] mod 10; inc(len); end; while (len>1) and (c[len]=0) do dec(len); {若不需进位则调整 len} c[0]:=len; end;{multiply} 4．高精度乘以高精度 procedure high_multiply(a,b:hp; var c:hp} var i,j,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); for i:=1 to a[0] do for j:=1 to b[0] do begin inc(c[i+j-1],a[i]*b[j]); inc(c[i+j],c[i+j-1] div 10); c[i+j-1]:=c[i+j-1] mod 10; end; len:=a[0]+b[0]+1; while (len>1) and (c[len]=0) do dec(len); c[0]:=len; end; 5．高精度除以低精度 procedure devide(a:hp;b:longint; var c:hp; var d:longint); {c:=a div b; d:= a mod b} var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); len:=a[0]; d:=0; for i:=len downto 1 do begin d:=d*10+a[i]; c[i]:=d div b; d:=d mod b; end; while (len>1) and (c[len]=0) then dec(len); c[0]:=len; end; 6．高精度除以高精度 procedure high_devide(a,b:hp; var c,d:hp); var i,len:integer; begin fillchar(c,sizeof(c),0); fillchar(d,sizeof(d),0); len:=a[0];d[0]:=1; for i:=len downto 1 do begin multiply(d,10,d); d[1]:=a[i]; while(compare(d,b)>=0) do {即 d>=b} begin Subtract(d,b,d); inc(c[i]); end; end; while(len>1)and(c.s[len]=0) do dec(len); c.len:=len; end; 六、 树的遍历 1．已知前序中序求后序 procedure Solve(pre,mid:string); var i:integer; begin if (pre='''') or (mid='''') then exit; i:=pos(pre[1],mid); solve(copy(pre,2,i),copy(mid,1,i-1)); solve(copy(pre,i+1,length(pre)-i),copy(mid,i+1,length(mid)-i)); post:=post+pre[1]; {加上根，递归结束后 post 即为后序遍历} end; 2．已知中序后序求前序 procedure Solve(mid,post:string); var i:integer; begin if (mid='''') or (post='''') then exit; i:=pos(post[length(post)],mid); pre:=pre+post[length(post)]; {加上根，递归结束后 pre 即为前序遍历} solve(copy(mid,1,I-1),copy(post,1,I-1)); solve(copy(mid,I+1,length(mid)-I),copy(post,I,length(post)-i)); end; 3．已知前序后序求中序的一种 function ok(s1,s2:string):boolean; var i,l:integer; p:boolean; begin ok:=true; l:=length(s1); for i:=1 to l do begin p:=false; for j:=1 to l do if s1[i]=s2[j] then p:=true; if not p then begin ok:=false;exit;end; end; end; procedure solve(pre,post:string); var i:integer; begin if (pre='''') or (post='''') then exit; i:=0; repeat inc(i); until ok(copy(pre,2,i),copy(post,1,i)); solve(copy(pre,2,i),copy(post,1,i)); midstr:=midstr+pre[1]; solve(copy(pre,i+2,length(pre)-i-1),copy(post,i+1,length(post)-i-1)); end; 七 进制转换 1.任意正整数进制间的互化 除 n 取余 2.实数任意正整数进制间的互化 乘 n 取整 3.负数进制： 设计一个程序，读入一个十进制数的基数和一个负进制数的基数，并将此十进制 数转换为此负 进制下的数：-R∈{-2，-3，-4,....-20} 八 全排列与组合的生成 1.排列的生成：（1..n） procedure solve(dep:integer); var i:integer; begin if dep=n+1 then begin writeln(s);exit; end; for i:=1 to n do if not used[i] then begin s:=s+chr(i+ord(''0''));used[i]:=true; solve(dep+1); s:=copy(s,1,length(s)-1); used[i]:=false; end; end; 2.组合的生成(1..n 中选取 k 个数的所有方案) procedure solve(dep,pre:integer); var i:integer; begin if dep=k+1 then begin writeln(s);exit; end; for i:=1 to n do if (not used[i]) and (i>pre) then begin s:=s+chr(i+ord(''0''));used[i]:=true; solve(dep+1,i); s:=copy(s,1,length(s)-1); used[i]:=false; end; end; 九.查找算法 1.折半查找 function binsearch(k:keytype):integer; var low,hig,mid:integer; begin low:=1;hig:=n; mid:=(low+hig) div 2; while (a[mid].key<>k) and (low<=hig) do begin if a[mid].key>k then hig:=mid-1 else low:=mid+1; mid:=(low+hig) div 2; end; if low>hig then mid:=0; binsearch:=mid; end; 2.树形查找 二叉排序树：每个结点的值都大于其左子树任一结点的值而小于其右子树任一结 点的值。 查找 function treesrh(k:keytype):pointer; var q:pointer; begin q:=root; while (q<>nil) and (q^.key<>k) do if kgoal then begin {若未移到目标} Move(k-1,6-now-goal); {剩下的先移到没用的柱上} Writeln(k moved from now to goal); H[goal,h[goal,0]+1]:=h[now,nowp]; h[now,nowp]:=0; Inc(h[goal,0]); dec(h[now,0]); Move(k-1,goal); {剩下的移到目标上} End; 十二、DFS 框架 NOIP2001 数的划分 procedure work(dep,pre,s:longint); {入口为 work(1,1,n)} {dep 为当前试放的第 dep 个数,pre 为前一次试放的数,s 为当前剩余可分的总数} var j:longint; begin if dep=n then begin if s>=pre then inc(r); exit; end; for j:=pre to s div 2 do work(dep+1,j,s-j); end; 类似： procedure try(dep:integer); var i:integer; begin if dep=k then begin if tot>=a[dep-1] then inc(sum); exit; end; for i:=a[dep-1] to tot div 2 do begin a[dep]:=i; dec(tot,i); try(dep+1); inc(tot,i); end; end;{try} 十三、BFS 框架 IOI94 房间问题 head:=1; tail:=0; while tail=1) and (I<=L.len) then while j