排序算法

903600017

贡献于2011-12-02

字数:0 关键词:

几种排序算法小结 一、插入排序 (Insertion Sort) 1. 基本思想: 每次将一个待排序的数据元素,插入到前面已经排好序的数列中的适当位置,使数列依然有序;直到待 排序数据元素全部插入完为止。 2. 排序过程: 【示例】: [初始关键字 ][49] 38 65 97 76 13 27 49 J=2(38) [38 49] 65 97 76 13 27 49 J=3(65) [38 49 65] 97 76 13 27 49 J=4(97) [38 49 65 97] 76 13 27 49 J=5(76) [38 49 65 76 97] 13 27 49 J=6(13) [13 38 49 65 76 97] 27 49 J=7(27) [13 27 38 49 65 76 97] 49 J=8(49) [13 27 38 49 49 65 76 97] Procedure InsertSort(Var R: FileType); //对R[1..N]按递增序进行插入排序 , R[0]是监视哨 // Begin for I:= 2 To N Do //依次插入 R[2],...,R[n]// begin R[0] := R[I];J:= I- 1; While R[0] < R[J] Do //查找 R[I]的插入位置 // begin R[J+1] := R[J];//将大于 R[I]的元素后移 // J:= J- 1 end R[J + 1] := R[0] ;//插入 R[I]// end End; //InsertSort // 二、选择排序 1. 基本思想: 每一趟从待排序的数据元素中选出最小(或最大)的一个元素,顺序放在已排好序的数列的最后,直 到全部待排序的数据元素排完。 2. 排序过程: 【示例】: 初始关键字 [49 38 65 97 76 13 27 49] 第一趟排序后 13 [38 65 97 76 49 27 49] 第二趟排序后 13 27 [65 97 76 49 38 49] 第三趟排序后 13 27 38 [97 76 49 65 49] 第四趟排序后 13 27 38 49 [49 97 65 76] 第五趟排序后 13 27 38 49 49 [97 97 76] 第六趟排序后 13 27 38 49 49 76 [76 97] 第七趟排序后 13 27 38 49 49 76 76 [ 97] 最后排序结果 13 27 38 49 49 76 76 97 Procedure SelectSort(Var R: FileType); //对R[1..N]进行直接选择排序 // Begin for I:= 1 To N- 1 Do //做N- 1趟选择排序 // begin K:= I; For J:= I + 1 To N Do //在当前无序区 R[I..N]中选最小的元素 R[K]// begin If R[J] < R[K] Then K:= J end; If K <> I Then //交换 R[I]和R[K]// begin Temp := R[I];R[I]:= R[K];R[K]:= Temp; end; end End; //SelectSort // 三、冒泡排序 (BubbleSort) 1. 基本思想: 两两比较待排序数据元素的大小,发现两个数据元素的次序相反时即进行交换,直到没有反序的数据 元素为止。 2. 排序过程: 设想被排序的数组 R[1..N]垂直竖立,将每个数据元素看作有重量的气泡,根据轻气泡不能在重气泡 之下的原则,从下往上扫描数组 R,凡扫描到违反本原则的轻气泡,就使其向上 "漂浮 ",如此反复进行,直 至最后任何两个气泡都是轻者在上,重者在下为止。 【示例】: 49 13 13 13 13 13 13 13 38 49 27 27 27 27 27 27 65 38 49 38 38 38 38 38 97 65 38 49 49 49 49 49 76 97 65 49 49 49 49 49 13 76 97 65 65 65 65 65 27 27 76 97 76 76 76 76 49 49 49 76 97 97 97 97 Procedure BubbleSort(Var R: FileType) //从下往上扫描的起泡排序 // Begin For I:= 1 To N-1 Do //做N-1 趟排序 // begin NoSwap := True; //置未排序的标志 // For J:= N- 1 DownTo 1 Do //从底部往上扫描 // begin If R[J+1]< R[J] Then //交换元素 // begin Temp := R[J+1]; R[J+1 := R[J];R[J]:= Temp; NoSwap := False end; end; If NoSwap Then Return//本趟排序中未发生交换,则终止算法 // end End; //BubbleSort// 四、快速排序( Quick Sort) 1. 基本思想: 在当前无序区 R[1..H]中任取一个数据元素作为比较的 "基准 "(不妨记为 X),用此基准将当前无序区划分 为左右两个较小的无序区: R[1..I- 1]和R[I+1..H],且左边的无序子区中数据元素均小于等于基准元素,右 边的无序子区中数据元素均大于等于基准元素,而基准 X则位于最终排序的位置上,即 R[1..I-1]≤X.Key≤R[I+1..H](1≤I≤H),当 R[1..I-1]和R[I+1..H]均非空时,分别对它们进行上述的划分过程,直 至所有无序子区中的数据元素均已排序为止。 2. 排序过程: 【示例】: 初始关键字 [49 38 65 97 76 13 27 49] 第一次交换后 [27 38 65 97 76 13 49 49] 第二次交换后 [27 38 49 97 76 13 65 49] J向左扫描,位置不变,第三次交换后 [27 38 13 97 76 49 65 49] I向右扫描,位置不变,第四次交换后 [27 38 13 49 76 97 65 49] J向左扫描 [27 38 13 49 76 97 65 49] (一次划分过程) 初始关键字 [49 38 65 97 76 13 27 49] 一趟排序之后 [27 38 13]49 [76 97 65 49] 二趟排序之后 [13]27 [38]49 [49 65]76 [97] 三趟排序之后 13 27 38 49 49 [65]76 97 最后的排序结果 13 27 38 49 49 65 76 97 各趟排序之后的状态 Procedure Parttion(Var R: FileType; L,H: Integer; Var I: Integer); //对无序区 R[1,H]做划分, I给以出本次划分后已被定位的基准元素的位置 // Begin I:= 1; J:= H;X:= R[I];//初始化, X为基准 // Repeat While (R[J] >= X) And (I < J) Do begin J:= J- 1 //从右向左扫描,查找第 1个小于 X的元素 // If I < J Then //已找到 R[J]〈X// begin R[I]:= R[J];//相当于交换 R[I]和R[J]// I:= I + 1 end; While (R[I] <= X) And (I < J) Do I:= I + 1 //从左向右扫描,查找第 1个大于 X的元素 /// end; If I < J Then //已找到 R[I] > X// begin R[J]:= R[I];//相当于交换 R[I]和R[J]// J:= J- 1 end Until I = J; R[I]:= X//基准 X已被最终定位 // End; //Parttion // Procedure QuickSort(Var R:FileType; S,T: Integer); //对R[S..T]快速排序 // Begin If S < T Then //当R[S..T]为空或只有一个元素是无需排序 // begin Partion(R, S,T,I);//对R[S..T]做划分 // QuickSort(R, S, I-1);//递归处理左区间 R[S,I-1]// QuickSort(R, I+1,T);//递归处理右区间 R[I+1..T] // end; End; //QuickSort// 五、堆排序 (Heap Sort) 1. 基本思想: 堆排序是一树形选择排序,在排序过程中,将 R[1..N]看成是一颗完全二叉树的顺序存储结构,利用完全 二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系来选择最小的元素。 2. 堆的定义 :N个元素的序列 K1,K2,K3,...,Kn.称为堆,当且仅当该序列满足特性: Ki≤K2i Ki ≤K2i+1(1≤ I≤ [N/2]) 堆实质上是满足如下性质的完全二叉树:树中任一非叶子结点的关键字均大于等于其孩子结点的关键字。 例如序列 10,15,56,25,30,70 就是一个堆,它对应的完全二叉树如上图所示。这种堆中根结点(称为堆顶)的 关键字最小,我们把它称为小根堆。反之,若完全二叉树中任一非叶子结点的关键字均大于等于其孩子的 关键字,则称之为大根堆。 3. 排序过程: 堆排序正是利用小根堆(或大根堆)来选取当前无序区中关键字小(或最大)的记录实现排序的。我们不 妨利用大根堆来排序。每一趟排序的基本操作是:将当前无序区调整为一个大根堆,选取关键字最大的堆 顶记录,将它和无序区中的最后一个记录交换。这样,正好和直接选择排序相反,有序区是在原记录区的 尾部形成并逐步向前扩大到整个记录区。 【示例】 : 对关键字序列 42,13,91,23,24,16,05,88建堆 Procedure Sift(Var R:FileType; I,M: Integer); //在数组 R[I..M]中调用 R[I],使得以它为完全二叉树构成堆。事先已知其左、右子树 (2I+1 <=M 时)均是堆 // Begin X:= R[I];J:= 2*I; //若J <=M, R[J]是R[I]的左孩子 // While J <= M Do //若当前被调整结点 R[I]有左孩子 R[J]// begin If (J < M) And R[J].Key < R[J+1].Key Then J:= J + 1 //令J指向关键字较大的右孩子 // //J 指向 R[I]的左、右孩子中关键字较大者 // If X.Key < R[J].Key Then //孩子结点关键字较大 // begin R[I]:= R[J];//将R[J]换到双亲位置上 // I:= J;J:= 2*I //继续以 R[J]为当前被调整结点往下层调整 // end; Else Exit//调整完毕,退出循环 // end R[I]:= X;//将最初被调整的结点放入正确位置 // End;//Sift// Procedure HeapSort(Var R: FileType); //对R[1..N]进行堆排序 // Begin For I:= N Div Downto 1 Do //建立初始堆 // Sift(R, I,N) For I:= N Downto 2 do //进行 N-1 趟排序 // begin T:= R[1]; R[1] := R[I];R[I]:= T;//将当前堆顶记录和堆中最后一个记录交换 // Sift(R, 1, I-1) //将R[1..I-1]重成堆 // end End; //HeapSort// 六、几种排序算法的比较和选择 1. 选取排序方法需要考虑的因素: (1) 待排序的元素数目 n; (2) 元素本身信息量的大小; (3) 关键字的结构及其分布情况; (4) 语言工具的条件,辅助空间的大小等。 2. 小结: (1) 若n较小 (n <= 50),则可以采用直接插入排序或直接选择排序。由于直接插入排序所需的记录移动操作 较直接选择排序多,因而当记录本身信息量较大时,用直接选择排序较好。 (2) 若文件的初始状态已按关键字基本有序,则选用直接插入或冒泡排序为宜。 (3) 若n较大,则应采用时间复杂度为 O(nlog2n)的排序方法:快速排序、堆排序或归并排序。 快速排序是 目前基于比较的内部排序法中被认为是最好的方法。 (4) 在基于比较排序方法中,每次比较两个关键字的大小之后,仅仅出现两种可能的转移,因此可以用一 棵二叉树来描述比较判定过程,由此可以证明:当文件的 n个关键字随机分布时,任何借助于 "比较 "的排序 算法,至少需要 O(nlog2n)的时间。 (5) 当记录本身信息量较大时,为避免耗费大量时间移动记录,可以用链表作为存储结构。 排序 Sorting 排序问题的输入是一个线性表,该线性表的元素属于一个偏序集;要求对该线性表的元素做某种重排,使 得线性表中除表尾外的每个元素都小于等于(或大于等于)它的后继。 设R为非空集合 A上的二元关系, 如果 R满足自反性 (对于每一个 x∈A,(x,x)∈R), 反 对称性 ((x,y)∈R∧(y,x) ∈R→x=y )和传递性 ((x,y)∈R∧(y,x)∈R→(x,z)∈R),则称 R为A上的偏序关系,记作 ≤。如果 (x,y)∈R,则 记作 x≤y,读作 “x小于等于 y”。存在偏序关系的集合 A称为偏序集。 注意,这里的 ≤不是指数的大小,而是指在偏序关系中的顺序性。 x≤y的含义是:按照这个序, x排在 y前面。 根据不同的偏序定义, ≤有不同的解释。例如整除关系是偏序关系 ≤,3≤6的含义是 3整除 6。大于或等于关 系也是偏序关系,针对这个关系 5≤4是指在大于或等于关系中 5排在 4的前面,也就是说 5比4大。 在实际应用中,经常遇到的偏序关系是定义在一个记录类型的数据集合上的。在该记录类型中有一个主键 域key,key 域的类型是某一个偏序集,记录的其他域称为卫星数据。比较线性表中的两个元素 Li 和Lj的大 小,实际上是比较 Li.key 和Lj.key 的大小(这种比较当然也是偏序集中的比较) 。 举例而言,某公司的数 据库里记录了员工的数据,每一项纪录包括姓名,编号,年龄,工资等几个域,如果以编号为 key 域对员工 记录排序,则是将员工记录按照编号排序;如果以工资为 key 域对员工记录排序,则是将员工记录按照工 资高低排序;如果以姓名为 key 域对员工记录排序,则是以员工姓名的汉语拼音按照字典顺序排序。 关于偏序集的具体概念和应用,请参见离散数学的相关资料。 如果一个排序算法利用输入的线性表在原地重排其中元素,而没有额外的内存开销,这种排序算法叫做原 地置换排序算法 (in place sort);如果排序后并不改变表中相同的元素原来的相对位置,那么这种排序算法叫 做稳定排序算法 (stable sort)。 排序问题一般分为内排序 ( internal sorting )和外排序 ( external sorting )两类: 1. 内排序:待排序的表中记录个数较少,整个排序过程中所有的记录都可以保留在内存中; 2. 外排序:待排序的记录个数足够多,以至于他们必须存储在磁带、磁盘上组成外部文件,排序过程 中需要多次访问外存。 内排序 待排序的表中记录个数较少,整个排序过程中所有的记录都可以保留在内存中,这样的排序叫做内排序。 排序问题的计算复杂性 对排序算法计算时间的分析可以遵循若干种不同的准则,通常以排序过程所需要的算法步数作为度量,有 时也以排序过程中所作的键比较次数作为度量。特别是当作一次键比较需要较长时间,例如,当键是较长 的字符串时,常以键比较次数作为排序算法计算时间复杂性的度量。当排序时需要移动记录,且记录都很 大时,还应该考虑记录的移动次数。究竟采用哪种度量方法比较合适要根据具体情况而定。在下面的讨论 中我们主要考虑用比较的次数作为复杂性的度量。 为了对有 n个元素的线性表进行排序,至少必须扫描线性表一遍以获取这 n个元素的信息,因此排序问题的 计算复杂性下界为 Ω(n)。 如果我们对输入的数据不做任何要求,我们所能获得的唯一信息就是各个元素的具体的值,我们仅能通过 比较来确定输入序列 的元素间次序。即给定两个元素 ai 和aj,通过测试 aiaj 中的哪一个成立来确定 ai 和aj 间的相对次序。这样的排序算法称为比较排序算法。下 面我们讨论一下比较排序算法在最坏情况下至少需要多少次比较,即比较排序算法的最坏情况复杂性下界。 我们假设每次比较只测试 ai≤aj ,如果 ai≤aj 成立则 ai 排在 aj 前面,否则 ai 排在 aj 后面。任何一个比较排序 算法可以描述为一串比较序列 : (ai,aj),(ak,al),..,(am,an),... 表示我们首先比较 (ai,aj),然后比较 (ak,al),...,比较 (am,an),...,直到我们获取了足够的信息可以确定所有 元素的顺序。显而易见,如果我们对所有的元素两两进行一次比较的话 (总共比较了 Cn2 次),就一定可以确 定所有元素的顺序。但是,如果我们运气足够好的话,我们可能不必对所有元素两两进行一次比较。比如 说对于有三个元素 a1,a2,a3 的线性表进行排序,如果我们先比较 a1 和a2,得到 a1≤a2;然后比较 a2 和a3,得 到 a2≤a3;则不必比较 a1 和a3,因为根据偏序集的传递性,必有 a1≤a3;但是如果 a2≥a3,我们还必须比较 a1 和 a3 才能确定 a1 和a3 的相对位置。如果我们适当的安排比较的次序的话,也可以减少比较的次数。这样我们 可以用一棵二叉树表示比较的顺序,如下图所示: 该树的每一个非叶节点表示一次比较,每一根树枝表示一种比较结果,每一个叶节点表示一种排列顺序。 这样的一棵二叉树叫做决策树,它用树枝表示了每次决策做出的选择。如此我们可以将任何一个比较排序 算法用一棵决策树来表示。 请注意上图只表明了对三个元素的一种比较算法,这种比较算法依次比较 (a1,a2)(a2,a3)(a1,a3),一旦中间某 步得到足够的信息就可以停止比较,但是当算法执行完后(三次比较后) , 一定可以确定三个元素间的次 序。因此我们有理由将算法在最坏情况下的比较次数作为算法复杂性的度量,对于本例该算法在最坏情况 下要进行 C32=3 次比较。 显然,一棵决策树中最高叶节点的高度就是该决策树对应的算法在最坏情况下所需的比较次数,而决策树 中最低叶节点的高度就是该决策树对应的算法在最好情况下所需的比较次数。 我们的问题就变为:对于任意一棵决策树(任意一种比较排序算法) , 它的最高的树叶的高度是多少?这 个高度就对应于比较排序算法所需的最多比较次数(在运气最坏的情况下) ; 换句话说,对于任何一个输 入,该算法至少需要比较多少次就可以对元素进行排序。 我们发现,决策树的每个叶节点对应一个 n个元素的排列,其中可能有重复的;但是由于决策树表明了所有 可能遇到的情况,因而 n个元素的所有排列都在决策树中出现过。 n个元素共有 n!种排列,即决策树的叶节 点数目至少为 n!。又因为一棵高度为 h的二叉树(指二叉树的最高树叶高度为 h)的叶节点数目最多为 2h个 (这时正好是满二叉树,即每个非叶节点都有两个子节点) , 因此 n!≤2h,得到 h≥log(n!),其中 log 以2为底。 根据 Stirling 公式有 n!>(n/e)n,于是 h>nlogn-nloge,即 h=Ω(nlogn)。 这样我们就证明了对于任意一种利用比较来确定元素间相对位置的排序算法,其最坏情况下复杂性为 Ω(nlogn)。 在下文中我们将讨论几种比较排序算法,其中快速排序在平均情况下复杂性为 O(nlogn),最坏情况下复杂 性为 O(n2);堆排序和合并排序在最坏情况下复杂性为 O(nlogn),因此堆排序和合并排序是渐进最优的比较 排序算法。 排序算法是否还能够改进呢?从前文我们知道,如果要改进排序算法的效率,就不能只利用比较来确定元 素间相对位置。因此我们还需要知道元素的其他附加信息,光知道元素的大小信息是不够的。下文中我们 介绍的计数排序,基数排序和桶排序是具有线性时间复杂性的排序算法,这些算法无一例外地对输入数据 作了某些附加限制,从而增加已知的信息,因此可以不通过比较来确定元素间的相对位置。 比较排序算法 通过比较来确定输入序列 的元素间相对次序的排序算法称为比较排序算法。 在下面讨论的排序算法中,冒泡排序、选择排序和插入排序的比较次数为 O(n2),快速排序在平均情况下复 杂性为 O(nlogn),堆排序和合并排序在最坏情况下复杂性为 O(nlogn)。可见,合并排序和堆排序是比较排序 算法中时间复杂度最优算法。 冒泡排序 Bubble Sort 最简单的排序方法是冒泡排序方法。这种方法的基本思想是,将待排序的元素看作是竖着排列的 “气泡 ”, 较小的元素比较轻,从而要往上浮。在冒泡排序算法中我们要对这个 “气泡 ”序列处理若干遍。所谓一遍处 理,就是自底向上检查一遍这个序列,并时刻注意两个相邻的元素的顺序是否正确。如果发现两个相邻元 素的顺序不对,即 “轻”的元素在下面,就交换它们的位置。显然,处理一遍之后, “最轻 ”的元素就浮到了 最高位置;处理二遍之后, “次轻 ”的元素就浮到了次高位置。在作第二遍处理时,由于最高位置上的元素 已是 “最轻 ”元素, 所以不必检查。 一般地,第 i遍处理时, 不必检查第 i高位置以上的元素, 因为经过前面 i- 1 遍的处理,它们已正确地排好序。这个算法可实现如下。 procedure Bubble_Sort(var L:List); var i,j:position; begin 1 for i:=First(L) to Last(L)-1 do 2 for j:=First(L) to Last(L)-i do 3 if L[j]>L[j+1] then 4 swap(L[j],L[j+1]); //交换 L[j]和L[j+1] end; 上述算法将较大的元素看作较重的气泡,每次最大的元素沉到表尾。其中 First(L)和Last(L)分别表示线性表 L的第一个元素和最后一个元素的位置, swap(x,y)交换变量 x,y 的值。上述算法简单地将线性表的位置当作 整数用 for 循环来处理,但实际上线性表可能用链表实现;而且上述算法将线性表元素的值当作其键值进行 处理。不过这些并不影响表达该算法的基本思想。今后如果不加说明,所有的算法都用这种简化方式表达。 容易看出该算法总共进行了 n(n-1)/2 次比较。如果 swap 过程消耗的时间不多的话,主要时间消耗在比较上, 因而时间复杂性为 O(n2)。但是如果元素类型是一个很大的纪录,则 Swap 过程要消耗大量的时间,因此有必 要分析 swap 执行的次数。 显然算法 Bubble_Sort 在最坏情况下调用 n(n-1)/2 次Swap 过程。 我 们假设输入序列的分布是等可能的。 考 虑 互 逆的两个输入序列 L1=k1,k2,..,kn 和L2=kn,kn-1,..,k1。 我们知道, 如果 ki>kj,且ki 在表中排在 kj前面, 则在 冒 泡法排序时必定要将 kj换到 ki 前面, 即 kj向前浮的过程中一定要穿过一次 ki, 这 个过程要调用一次 Swap。对 于任意的两个元素 ki 和kj,不妨设 ki>kj,或者在 L1 中ki 排在 kj前面,或者 L2 在中 ki 排在 kj前面,两者 必 居其 一。 因 此对于任意的两个元素 ki 和kj, 在对 L1 和L2 排序时, 总 共需要将这两个元素对调一次。 n个元素中 任 取两个元素有 Cn2 种取法,因此对于两个互逆序列进行排序,总共要调用 Cn2 =n(n-1)/2 次Swap,平均每个 序列要调用 n(n-1)/4 次Swap。那么算法 Bubble_Sort 调用 Swap 的平均次数为 n(n-1)/4。 可以对冒泡算法作一些改进,如果算法第二行的某次内循环没有进行元素交换,则说明排序工作已经完成, 可以退出外循环。可以用一个布尔变量来记录内循环是否进行了记录交换,如果没有则终止外循环。 冒泡法的另一个改进版本是双向扫描冒泡法( Bi-Directional Bubble Sort) 。 设被排序的表中各元素键值序 列为: 483 67 888 50 255 406 134 592 657 745 683 对该序列进行 3次扫描后会发现,第 3此扫描中最后一次交换的一对纪录是 L[4]和L[5]: 50 67 255 134 | 406 483 592 657 683 745 888 显然,第 3次扫描 (i=3)结束后 L[5]以后的序列都已经排好序了,所以下一次扫描不必到达 Last(L)-i=11-4=7, 即第 2行的 for 循环 j不必到达 7, 只 要到达 4-1=3 就可以了。 按 照这种思路, 可 以来回地进行扫描, 即 先从 头 扫到尾,再从尾扫到头。这样就得到双向冒泡排序算法: procedure Bi-Directional_Bubble_Sort(var L:List); var low,up,t,i:position; begin 1 low:=First(L);up:=Last(L); 2 while up>low do begin 3 t:=low; 4 for i:=low to up-1 do 5 if L[i]>L[i+1] then begin 6 swap(L[i],L[i+1]); 7 t:=i; end; 8 up:=t; 9 for i:=up downto low+1 do 10 if L[i]< L[i-1] then begin 11 swap(L[i],L[i-1]); 12 t:=i; end; 13 low:=t; end; end; 算法利用两个变量 low 和up记录排序的区域 L[low..up],用变量 t 记录最近一次交换纪录的位置, 4-7 行从前 向后扫描, 9-12 行从后向前扫描,每次扫描以后利用 t所记录的最后一次交换记录的位置,并不断地缩小需 要排序的区间,直到该区间只剩下一个元素。 直观上来看,双向冒泡法先让重的气泡沉到底下,然后让轻的气泡浮上来,然后再让较大气泡沉下去,让 较轻气泡浮上来,依次反复,直到排序结束。 双向冒泡排序法的性能分析比较复杂,目前暂缺,那位朋友知道请告诉我。 冒泡排序法和双向冒泡排序法是原地置换排序法,也是稳定排序法,如果算法 Bubble_Sort 中第 3行的比较条 件L[j]>L[j+1]改为 L[j]>= L[j+1],则不再是稳定排序法。 选择排序 Selection Sort 选择排序的基本思想是对待排序的记录序列进行 n-1 遍的处理,第 i遍处理是将 L[i..n]中最小者与 L[i]交换位 置。这样,经过 i遍处理之后,前 i个记录的位置已经是正确的了。 选择排序算法可实现如下。 procedure Selection_Sort(var L:List); var i,j,s:position; begin 1 for i:=First(L) to Last(L)-1 do begin 2 s:=i; 3 for j:=i+1 to Last(L) do 4 if L[j]< L[s] then 5 s:=j; //记录 L[i..n]中最小元素的位置 6 swap(L[i],L[s]); //交换 L[i],L[s] end; end; 算法 Selection_Sort 中里面的一个 for 循环需要进行 n-i 次比较,所以整个算法需要 次比较。 显而易见,算法 Selection_Sort 中共调用了 n-1 次swap 过程。选择排序法是一个原地置换排序法,也是稳定排 序法 插入排序 Insertion Sort 插入排序的基本思想是,经过 i-1 遍处理后 ,L[1..i-1]己排好序。第 i遍处理仅将 L[i]插入 L[1..i-1]的适当位置, 使得 L[1..i]又是排好序的序列。要达到这个目的,我们可以用顺序比较的方法。首先比较 L[i]和L[i-1],如果 L[i-1]≤ L[i],则L[1..i]已排好序, 第 i遍处理就结束了; 否 则交换 L[i]与L[i-1]的位置, 继续比较 L[i-1]和L[i-2], 直到找到某一个位置 j(1≤j≤i-1),使得 L[j] ≤L[j+1]时为止。图 1演示了对 4个元素进行插入排序的过程,共需 要(a),(b),(c)三次插入。 图1 对4个元素进行插入排序 在下面的插入排序算法中,为了写程序方便我们可以引入一个哨兵元素 L[0],它小于 L[1..n]中任一记录。所 以,我们设元素的类型 ElementType 中有一个常量 -∞,它比可能出现的任何记录都小。如果常量 -∞不好事 先确定,就必须在决定 L[i]是否向前移动之前检查当前位置是否为 1,若当前位置已经为 1时就应结束第 i遍 的处理。另一个办法是在第 i遍处理开始时,就将 L[i]放入 L[0]中,这样也可以保证在适当的时候结束第 i 遍 处理。下面的算法中将对当前位置进行判断。 插入排序算法如下: procedure Selection_Sort(var L:List); var i,j:position; v:ElementType; begin 1 for i:=First(L)+1 to Last(L) do begin 2 v:=L[i]; 3 j:=i; 4 while (j<>First(L))and(L[j-1]< v) do //循环找到插入点 begin 5 L[j]:=L[j-1]; //移动元素 6 j:=j-1; end; 7 L[j]:=v; //插入元素 end; end; 下面考虑算法 Insertion_Sort 的复杂性。对于确定的 i,内 while 循环的次数为 O(i),所以整个循环体内执行了 ΣO(i)=O(Σi),其中 i从2到n。即比较次数为 O(n2)。如果输入序列是从大到小排列的,那么内 while 循环次数 为i-1 次,所以整个循环体执行了 Σ(i-1)=n(n-1)/2 次。由此可知,最坏情况下, Insertion_Sort 要比较 Ω(n2)次。 如果元素类型是一个很大的纪录,则算法第 5行要消耗大量的时间,因此有必要分析移动元素的次数。经过 分析可知,平均情况下第 5行要执行 n(n-1)/4 次,分析方法与冒泡排序的分析相同。 如果移动元素要消耗大量的时间,则可以用链表来实现线性表,这样 Insertion_Sort 可以改写如下 (当然前一 个算法同样也适用于链表,只不过没下面这个好,但是下面算法这个比较复杂 ): 注意:在下面的算法中链表 L增加了一个哨兵单元,其中的元素为 -∞,即线性表 L的第一个元素是 L^.next^ procedure Selection_Sort_II(var L:PList); var i,j,tmp:Position; begin 1 if L^.next=nil then exit; //如果链表 L为空则直接退出 2 i:=L^.next; //i 指向 L的第一个元素,注意, L有一个哨兵元素,因此 L^.next^才是 L的第一个元素 3 while i^.next<>nil do begin 4 tmp:=i^.next; //tmp 指向 L[i]的下一个位置 5 j:=L; 6 while (j<>i)and(tmp^.data>=j^.next^.data) do //从前向后找到 tmp 的位置, tmp 应该插在 j后面 7 j:=j^.next; 8 if j<>i then //j=i 说明不需要改变 tmp 的位置 begin 9 i^.next:=tmp^.next; //将tmp 从i后面摘除 10 tmp^.next:=j^.next; //在j后面插入 tmp 11 j^.next:=tmp; end 12 else i:=i^.next; //否则 i指向下一个元素 end; end; 上述改进算法主要是利用链表删除和插入元素方便的特性,对于数组则不适用。 插入排序法是一个原地置换排序法,也是一个稳定排序法。插入法虽然在最坏情况下复杂性为 θ(n2),但是 对于小规模输入来说,插入排序法是一个快速的原地置换排序法。许多复杂的排序法,在规模较小的情况 下,都使用插入排序法来进行排序,比如快速排序和桶排序。 快速排序 Quick Sort 我们已经知道,在决策树计算模型下,任何一个基于比较来确定两个元素相对位 置的排序算法需要 Ω(nlogn)计算时间。如果我们能设计一个需要 O(n1ogn)时间 的排序算法,则在渐近的意义上,这个排序算法就是最优的。许多排序算法都是 追求这个目标。 下面介绍快速排序算法,它在平均情况下需要 O(nlogn)时间。这个算法是由 C.A.R.Hoare 发明的。 算法的基本思想 快速排序的基本思想是基于分治策略的。对于输入的子序列 L[p..r],如果规模 足够小则直接进行排序,否则分三步处理: . 分解 (Divide):将输入的序列 L[p..r]划分成两个非空子序列 L[p..q]和 L[q+1..r],使 L[p..q]中任一元素的值不大于 L[q+1..r]中任一元素的值。 . 递归求解 (Conquer):通过递归调用快速排序算法分别对 L[p..q]和 L[q+1..r]进行排序。 . 合并 (Merge):由于对分解出的两个子序列的排序是就地进行的,所以在 L[p..q]和L[q+1..r]都排好序后不需要执行任何计算 L[p..r]就已排好 序。 这个解决流程是符合分治法的基本步骤的。因此,快速排序法是分治法的经典应 用实例之一。 算法的实现 算法 Quick_Sort 的实现: 注意:下面的记号 L[p..r]代表线性表 L 从位置 p 到位置 r 的元素的集合,但是 L 并不一定要用数组来实现,可以是用任何一种实现方法(比如说链表) , 这里 L[p..r]只是一种记号。 procedure Quick_Sort(p,r:position;var L:List); const e=12; var q:position; begin 1 if r-p<=e then Insertion_Sort(L,p,r)//若L[p..r]足够小则直接对 L[p..r] 进行插入排序 else begin 2 q:=partition(p,r,L);//将L[p..r]分解为 L[p..q]和L[q+1..r] 两部分 3 Quick_Sort(p,q,L); //递归排序 L[p..q] 4 Quick_Sort(q+1,r,L);//递归排序 L[q+1..r] end; end; 对线性表 L[1..n]进行排序,只要调用 Quick_Sort(1,n,L)就可以了。算法首先 判断 L[p..r]是否足够小,若足够小则直接对 L[p..r]进行排序, Sort 可以是任 何一种简单的排序法,一般用插入排序。 这是因为,对于较小的表,快速排序 中划分和递归的开销使得该算法的效率还不如其它的直接排序法好。至于规模多 小才算足够小,并没有一定的标准,因为这跟生 成的代码和执行代码的计算机 有关,可以采取试验的方法确定这个规模阈值。经验表明,在大多数计算机上, 取这个阈值为 12 较好,也就是说,当 r- p<=e=12 即L[p..r]的规模不大于 12 时,直接采用插入排序法对 L[p..r]进行排序 (参见 Sorting and Searching Algorithms: A Cookbook)。当然,比较方便的方法是取该阈值为 1,当待排序 的表只有一个元素时,根本不用排序 (其实还剩两个元素时就已经在 Partition 函数中排好序了 ),只要把第 1 行的 if 语句该为 if p=r then exit else ...。 这就是通常教科书上看到的快速排序的形式。 注意:算法 Quick_Sort 中变量 q 的值一定不能等于 r,否则该过程会无限递归 下去,永远不能结束。因此下文中在 partition 函数里加了限制条件,避免 q=r 情况的出现。 算法 Quick_Sort 中调用了一个函数 partition,该函数主要实现以下两个功能: 1. 在L[p..r]中选择一个支点元素 pivot; 2. 对L[p..r]中的元素进行整理,使得 L[p..q]分为两部分 L[p..q] 和L[q+1..r],并且 L[p..q]中的每一个元素的值不大于 pivot, L[q+1..r]中的每一个元素的值不小于 pivot,但是 L[p..q]和 L[q+1..r]中的元素并不要求排好序。 快速排序法改进性能的关键就在于上述的第二个功能,因为该功能并不要求 L[p..q]和L[q+1..r]中的元素排好序。 函数 partition 可以实现如下。以下的实现方法是原地置换的,当然也有不是原 地置换的方法,实现起来较为简单,这里就不介绍了。 function partition(p,r:position;var L:List):position; var pivot:ElementType; i,j:position; begin 1 pivot:=Select_Pivot(p,r,L); //在L[p..r]中选择一个支点元素 pivot 2 i:=p-1; 3 j:=r+1; 4 while true do begin 5 repeat j:=j-1 until L[j]<=pivot; //移动左指针,注意这里不能用 while 循环 6 repeat i:=i+1 until L[i]>=pivot; //移动右指针,注意这里不能用 while 循环 7 if i< j then swap(L[i],L[j]) //交换 L[i]和L[j] 8 else if j<>r then return j //返回 j 的值作为分割 点 http://www.ahhf45.com/info/Data_Structures_and_Algorithms/algorithm/commonalg/sort/internal_sorting/quick_sort/i mage0011.gif 9 else return j-1; //返回 j 前一个位置作 为分割点 end; end; 该算法的实现很精巧。其中,有一些细节需要注意。例如,算法中的位置 i 和j 不会超出 A[p..r]的位置界,并且该算法的循环不会出现死循环,如果将两个 repeat 语句换为 while 则要注意当 L[i]=L[j]=pivot 且i0,b>0 为 待定常数。可以选择足够大的 a,b 使anlogn+b>T(1),对于 n>1 有: (8) 下面我们来确定和式 (9) 的界。 因为和式中每一项至多是 nlogn,则有界: 这是个比较紧的界,但是对于解递归式( 8)来说还不够强。为解该递归式,我 们希望有界: 为了得到这个界,可以将和式 (9)分解为两部分,这时有: http://www.ahhf45.com/info/Data_Structures_and_Algorithms/algorithm/commonalg/sort/internal_sorting/quick_sort/i mage022.gif http://www.ahhf45.com/info/Data_Structures_and_Algorithms/algorithm/commonalg/sort/internal_sorting/quick_sort/i mage024.gif http://www.ahhf45.com/info/Data_Structures_and_Algorithms/algorithm/commonalg/sort/internal_sorting/quick_sort/i mage026.gif http://www.ahhf45.com/info/Data_Structures_and_Algorithms/algorithm/commonalg/sort/internal_sorting/quick_sort/i mage028.gif 等号右边的第一个和式中的 logk 可由 log(n/2)=logn-1 从上方限界。第二个和 式中的 logk 可由 logn 从上方限界,这样, 对于 n≥2 成立。即 : (10) 将(10)代入 (8)式得: (11) 因为我们可以选择足够大的 a 使a*n/4 能够决定 θ (n)+b,所以快速排序的平均 运行时间为 θ (nlogn)。 线性时间排序算法 我们已经知道,通过比较确定两个元素之间相对位置的比较排序算法计算时间复 杂性下界为 O(nlogn),要想改进这个下界,就必须对输入的数据作某些限制。 下面介绍的几种排序算法都可以在 O(n)时间内对一个线性表进行排序,但是他 们要求输入数据满足某种条件。 计数排序 Counting Sort 计数排序是一个非基于比较的线性时间排序算法。它对输入的数据有附加的限制 条件: 1. 输入的线性表的元素属于有限偏序集 S; 2. 设输入的线性表的长度为 n,|S|=k(表示集合 S 中元素的总数目 为k),则k=O(n)。 在这两个条件下,计数排序的复杂性为 O(n)。 计数排序算法的基本思想是 对于给定的输入序列中的每一个元素 x,确定该序 列中值小于 x 的元素的个数。一旦有了这个信息,就可以将 x 直接存放到最终的 输出序列的正确位置上。例如,如 果输入序列中只有 17 个元素的值小于 x 的值, 则x 可以直接存放在输出序列的第 18 个位置上。当然,如果有多个元素具有相 同的值时,我们不能将这些元素放在 输出序列的同一个位置上,因此,上述方 案还要作适当的修改。 假设输入的线性表 L 的长度为 n,L=L1,L2,..,Ln;线性表的元素属于有限偏序集 S,|S|=k 且k=O(n),S={S1,S2,..Sk};则计数排序算法可以描述如下: 1. 扫描整个集合 S,对每一个 Si∈S,找到在线性表 L 中小于等于 Si 的元素 的个数 T(Si); 2. 扫描整个线性表 L,对 L 中的每一个元素 Li,将 Li 放在输出线性表的第 T(Li)个位置上,并将 T(Li)减1。 具体的实现如下。 注意:在以下的讨论中,为了方便,我们假设线性表是用数组来实现的,并且假 设线性表的元素类型 TElement 为整型,其值在 1..k 之间,线性表的长度为 n, 且k=O(n)。这些假设对计数排序算法没有实质的影响,但是可以使以下介绍的 算法看起来容易理解。 在下面的计数排序算法中,我们假设 L 为输入的长度为 n 的线性表,输出的排序 结果存放在线性表 R 中。算法中还用到一个辅助表 tmp 用于对输入元素进行计数。 Type TElement=1..k; TList=array [1..maxlength] of TElement; TPosition=integer; http://www.ahhf45.com/info/Data_Structures_and_Algorithms/algorithm/commonalg/sort/internal_sorting/counting_so rt/image001.gif http://www.ahhf45.com/info/Data_Structures_and_Algorithms/algorithm/commonalg/sort/internal_sorting/counting_so rt/image002.gif http://www.ahhf45.com/info/Data_Structures_and_Algorithms/algorithm/commonalg/sort/internal_sorting/counting_so rt/image003.gif http://www.ahhf45.com/info/Data_Structures_and_Algorithms/algorithm/commonalg/sort/internal_sorting/counting_so rt/image004.gif procedure Counting_Sort(var L,R:TList); var i,j:integer; tmp:TList; begin 1 for i:=1 to k do tmp[i]:=0; 2 for j:=1 to n do inc(tmp[L[j]]); //执行完上面的循环后, tmp[i]的值是 L 中等于 i 的元素的个数 3 for i:=2 to k do tmp[i]:=tmp[i]+tmp[i-1]; //执行完上面的循环后, tmp[i]的值是 L 中小于等于 i 的元素的个数 4 for j:=n downto 1 do //注意这里的 downto 保证了排序的稳定性 begin 5 R[tmp[L[j]]]:=L[j];//L[j]存放在输出数组 R 的第 tmp[L[j]]个位置上 6 dec(tmp[L[j]]); //tmp[L[j]]表示 L 中剩余的元素中小于等于 L[j]的元 素的个数 end; end; 图1 所示的是 Counting_Sort 作用于一个输入数组 L[1..8]上的过程,其中 L 的 每一个元素都是不大于 k=6 的正整数。 http://www.ahhf45.com/info/Data_Structures_and_Algorithms/algorithm/commonalg/sort/internal_sorting/counting_so rt/image005.gif http://www.ahhf45.com/info/Data_Structures_and_Algorithms/algorithm/commonalg/sort/internal_sorting/counting_so rt/image006.gif 图1 计数排序算法演示 容易理解,算法的第 (l)行是对数组 tmp 初始化。第 (2)行检查每个输入元素。 如果输入元素的键值为 i,则 tmp[i]增1。因此,在第 (2)行执行结束后, tmp[i] 中存放着值等于 i 的输入元素个数, i=1,2,..,k。算法的第 (3)行,对每个 i=1,2,..,i,统计值小于或等于 i 的输入元素个数。最后在 (4)-(8)行中, 将每 个元素 L[j]存放到输出数组 R 中相应的最终位置上。如果所有 n 个元素的值都 不相同,则共有 tmp[L[j]]个元素的键值小于或等于 L[j],而小 于L[j]的元素 有tmp[L[j]]-1 个,因此 tmp[L[j]]就是 L[j]在输出数组 R 中的正确位置。当输 入元素有相同的值时,每将一个 L[j] 存放到数组 R 时, tmp[L[j]]就减 1,使下 个值等于 L[j]的元素存放在输出数组 R 中存放元素 L[j]的前一个位置上。 计数排序算法的计算时间复杂性很容易分析。其中,第 (1)行需要 O(k)时间;第 (2)行需要 O(n)时间,第 (3)行需要 O(k)时间;第 (4)-(8)行的 for 循环需要 O(n) 时间。这样,整个算法所需的计算间为 O(n+k)。当 k=O(n)时,算法的计算时间 复杂性为 O(n)。 我们看到,计数排序算法没有用到元素间的比较,它利用元素的实际值来确定它 们在输出数组中的位置。因此,计数排序算法不是一个基于比较的排序算法,从 而它的计算时间下界不再是 Ω(nlogn)。另一方面,计数排序算法之所以能取得 线性计算时间的上界是因为对元素的取值范围作了一定限制,即 k=O(n)。如果 k=n2,n3,..,就得不到线性时间的上界。此外,我们还看到,由于算法第 4 行使 用了 downto 语句,经计数排序,输出序列中值相同的元素之间的相对次序与他 们在输入序列中的相对次序相同,换句话说,计数排序算法是一个稳定的排序算 法,但显然不是原地置换排序算法。 基数排序 Radix Sort 基数排序是一种用在老式穿卡机上的算法。一张卡片有 80 列,每列可在 12 个位 置中的任一处穿孔。排序器可被机械地 "程序化 "以检查每一迭卡片中的某 一列, 再根据穿孔的位置将它们分放 12 个盒子里。这样,操作员就可逐个地把它们收 集起来。其中第一个位置穿孔的放在最上面,第二个位置穿孔的其次,等等。 http://www.ahhf45.com/info/Data_Structures_and_Algorithms/algorithm/commonalg/sort/internal_sorting/radix_sort/i mages31.gif 对十进制数字来说,每列中只用到 10 个位置 (另两个位置用于编码非数值字符 )。 一个 d 位数占用 d 个列。因为卡片排序器一次只能查看一个列,要对 n 张片上的 d 位数进行排序就要有个排序算法。 直感上,大家可能觉得应该按最重要的一位排序,然后对每个盒子中的数递归地 排序,最后把结果合并起来。不幸的是,为排序每一个盒子中的数, 10 个盒子 中的 9 个必须先放在一边,这个过程产生了许多要加以记录的中间卡片堆。 与人们的直感相反,基数排序是首先按最不重要的一位数字排序来解决卡片排序 问题的。同样,把各堆卡片收集成一迭,其中 0 号盒子中的在 1 号盒子中的前 面, 后者又在 2 号盒子中的前面,等等。然后对整个一迭卡片按次重要位排序,并把 结果同样地合并起来。重复这个过程,直到对所有的 d 位数字都进行了排序。所 以,仅需要 n 遍就可将一迭卡片排好序。图 1 说明了基数排序作 “一迭 ”7 个三 位数的过程。第一列为输入,其余各列示出了对各个数位进行逐次排序后表的情 形。 垂直向上的箭头指示了当前要被加以排序的数位。 图1 基数排序作用于一个由 7 个3 位数组成的表上的过程 关于这个算法很重要的一点就是按位排序要稳定。由卡片排序器所故的排序是稳 定的,但操作员在把卡片从盒子里拿出来时不能改变他们的次序,即使某一盒子 中所有卡片在给定列上的穿孔位置都相同。 在一台典型的顺序随机存取计算机上,有时采用基数排序来对有多重域关键字的 记录进行排序。例如,假设我们想根据三个关键字处、月和 日来对日期排序。 对这个问题,可以用带有比较函数的排序算法来做。给定两个日期,先比较年份, 如果相同,再比较月份,如果再相同,再比较日。这儿我们可以 采用另一个方 法,即用一种稳定的排序方法对所给信息进行三次排序:先对日,其次对月,再 对年。 基数排序的代码是很简单的、下面的过程假设长度为 n 的数组 A 中的每个元素都 有d 位数字,其中第 1 位是最低的,第 d 位是最高位。 procedure Radix_Sort(var L:List;d:integer); var i:integer; begin 1 for i:=1 to d do 2 使用一种稳定的排序方法来对数组 L 按数字 i 进行排序 ; end; 基数排序的正确性可以通过对正在被排序的列进行归纳而加以证明。对本算法时 间代价的分析要取决于选择哪种稳定的中间排序算法。当每位数字都界于 l 到k 之间,且 k 不太大时,可以选择计数排序。对 n 个d 位数的每一遍处理的时间为 O(n+k),共有 d 遍,故基数排序的总时间为 θ (dn+kd)。当 d 为常 数, k=O(n) 时,基数排序有线性运行时间。 某些计算机科学家倾向于把一个计算机字中所含位数看成是 θ (lgn)。具体一点 说,假设共有 dlgn 位数字, d 为正常数。这样,如果待排序的每个数 恰能容于 一个计算机字内,我们就可以把它视为一个以 n 为基数的 d 位数。看一个例子: 对一百万个 64 位数排序。通过把这些数当作是以 216 为基数的四位数, 用基数 排序四遍就可完成排序。这与一个典型的 O(nlgn)比较排序相比要好得多,后者 对每一个参加排序的数约要 lgn=20 次操作。但有一点不理想,即 采用计数排序 作为中间稳定排序算法的基数排序版本不能够进行原地置换排序,而很多 O(nlgn)比较排序算法却是可以的。因此,当内存比较紧张时,一般来 说选择快 速排序更合适些。 桶排序 Bin Sort 平均情况下桶排序以线性时间运行。像计数排序一样,桶排序也对输入作了某种 假设, 因而运行得很快。具体来说,计数排序假设输入是由一个小范围内的整 数构成,而桶排序则 假设输入由一个随机过程产生,该过程将元素一致地分布 在区间 [0,1)上。 桶排序的思想就是把区间 [0,1)划分成 n 个相同大小的子区间,或称桶,然后将 n 个输入数分布到各个桶中去。因为输入数均匀分布在 [0,1)上,所以一般不会 有很多数落在 一个桶中的情况。为得到结果,先对各个桶中的数进行排序,然 后按次序把各桶中的元素列 出来即可。 在桶排序算法的代码中,假设输入是个含 n 个元素的数组 A,且每个元素满足 0≤ A[i]<1。另外还需要一个辅助数组 B[O..n-1]来存放链表实现的桶,并假设可以 用某种机制来维护这些表。 桶排序的算法如下,其中 floor(x)是地板函数,表示不超过 x 的最大整数。 procedure Bin_Sort(var A:List); begin 1 n:=length(A); 2 for i:=1 to n do 3 将A[i]插到表 B[floor(n*A[i])]中; 4 for i:=0 to n-1 do http://www.ahhf45.com/info/Data_Structures_and_Algorithms/algorithm/commonalg/sort/internal_sorting/bin_sort/ima ge030.gif 5 用插入排序对表 B[i]进行排序 ; 6 将表 B[0],B[1],...,B[n-1]按顺序合并 ; end; 图1 Bin_Sort 的操作 图1 演示了桶排序作用于有 10 个数的输入数组上的操作过程。 (a)输入数组 A[1..10]。(b)在该算法的第 5 行后的有序表 (桶)数组 B[0..9]。桶 i 中存放了 区间 [i/10,(i+1)/10]上的值。排序输出由表 B[O]、B[1]、...、B[9]的按序并 置构成。 要说明这个算法能证确地工作,看两个元素 A[i]和A[j]。如果它们落在同一个 桶中,则它们在输出序列中有着正确的相对次序,因为它们所在的桶是 采用插 入排序的。现假设它们落到不同的桶中,设分别为 B[i']和B[j']。不失一般性, 假设 i' #include //化分区间 ,找到最后元素的排序位置。并返回分隔的点(即最后一数据排序的位置) 。 //划分的区间是 [nBegin, nEnd). pData 是保存数据的指针 int Partition(int* pData, int nBeging, int nEnd) { int i = nBeging - 1; //分隔符号,最后 nD 保存在这里 --nEnd; int nD = pData[nEnd]; //比较的数据。 int nTemp; // 交换用的临时数据 //遍历数据比较,找到 nD 的位置,这里注意,比较结果是 , //如果 i 的左边是小于等于 nD 的, i 的右边是大于 nD 的 for (int j = nBeging; j < nEnd; ++j) { if (pData[j] <= nD) //如果数据比要比较的小,则在 该数据的左边,与 i+1 交换 { ++i; //小于 nD 的数据多一个, 所以要加 1,i 的左边数据都比 nD 小 nTemp = pData[i]; //交换数据 http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif pData[i] = pData[j]; pData[j] = nTemp; } } //最后不要忘了吧 nD 和i+1 交换,因为这里就是 nD 的位置咯。 ++i; pData[nEnd] = pData[i]; pData[i] = nD; return i; //返回 nD 的位置,就是分割的位置。 } //排序的递归调用。 int QuickSortRecursion(int* pData, int nBeging, int nEnd) { if (nBeging >= nEnd -1) //如果区域不存在或只有一个数据 则不递归排序 { return 1; } //这里因为分割的时候,分割点处的数据就是排序中他的位置。 //也就是说他的左边的数据都小于等于他,他右边的数据都大于他。 //所以他不在递归调用的数据中。 int i = Partition(pData, nBeging, nEnd); //找到分割点 QuickSortRecursion(pData, nBeging, i); //递归左 边的排序 QuickSortRecursion(pData, i + 1, nEnd); //递归 右边的排序 return 1; } //快速排序 int QuickSort(int* pData, int nLen) { //递归调用,快速排序。 QuickSortRecursion(pData, 0, nLen); return 1; } int main() { int nData[10] = {5,9,3,2,1,6,20,45,88,75}; //测试数据 QuickSort(nData, 10); //调用快速排序 http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/shongbee2/aggbug/80885.html?webview=1 for (int i = 0; i < 10; ++i) //输出结果 { printf("%d ", nData[i]); } printf("\n"); system("pause"); return 0; } posted on 2009-04-23 20:11 shongbee2 阅读 (1711) 评论 (5) 编辑 收藏 引 用所属分类 : 数据结构和算法 评论 # re: 快速排序学习 1 2009-04-27 08:16 幸运草 关于复杂度 NlogN 可以看一下这里,因为是图片形式没法在这里回复说明。 http://www.cppblog.com/liyuxia713/archive/2009/04/22/80749.html 回 复更多评论 # re: 快速排序学习 1 2009-04-28 21:28 shongbee2 @幸运草 谢谢您的博客,我学会了。哈哈。好高兴哦。 。 回复 更多评论 # re: 快速排序学习 1 2009-08-02 11:01 hedy007 int Partition(int* pData, int nBeging, int nEnd) { int i = nBeging - 1; //分隔符号,最后 nD 保存在这里 --nEnd; int nD = pData[nEnd]; //比较的数据。 int nTemp; // 交换用的临时数据 //遍历数据比较,找到 nD 的位置,这里注意,比较结果是 , //如果 i 的左边是小于等于 nD 的, i 的右边是大于 nD 的 for (int j = nBeging; j < nEnd; ++j) { if (pData[j] <= nD) //如果数据比要比较的小,则在该数据的左边,与 i+1 交换 { http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif ++i; //小于 nD 的数据多一个,所以要加 1,i 的左边数据都比 nD 小 nTemp = pData[i]; //交换数据 pData[i] = pData[j]; pData[j] = nTemp; } } //最后不要忘了吧 nD 和i+1 交换,因为这里就是 nD 的位置咯。 ++i; pData[nEnd] = pData[i]; pData[i] = nD; return i; //返回 nD 的位置,就是分割的位置。 } 有错误哦。改为 for (int j = nBeging; j < nEnd-1; ++j) 快速排序学习 2(随机化版本) 学了快速排序的随机化版本,他和标准的版本没有什么质的区别,因为快速排序 的最坏情况和平均情况效率差太远,所以用随机的版本来写一个更大概率平均的 快速排序,也是书上的例子: 直接奉上源代码: #include #include #include //化分区间 ,找到最后元素的排序位置。并返回分隔的点(即最后一数据排序的位置) 。 //划分的区间是 [nBegin, nEnd). pData 是保存数据的指针 int Partition(int* pData, int nBeging, int nEnd) { int i = nBeging - 1; //分隔符号,最后 nD 保存在这里 --nEnd; int nD = pData[nEnd]; //比较的数据。 int nTemp; // 交换用的临时数据 //遍历数据比较,找到 nD 的位置,这里注意,比较结果是 , //如果 i 的左边是小于等于 nD 的, i 的右边是大于 nD 的 for (int j = nBeging; j < nEnd; ++j) { if (pData[j] <= nD) //如果数据比要比较的小,则在 该数据的左边,与 i+1 交换 { http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif ++i; //++i 小于 nD 的数据多 一个,所以要加 1 nTemp = pData[i]; //交换数据 pData[i] = pData[j]; pData[j] = nTemp; } } //最后不要忘了吧 nD 和i+1 交换,因为这里就是 nD 的位置咯。 ++i; pData[nEnd] = pData[i]; pData[i] = nD; return i; //返回 nD 的位置,就是分割的位置。 } int RandomPartition(int* pData, int nBeging, int nEnd) { int i = nBeging + rand() %(nEnd - nBeging - 1); int nTemp = pData[i]; pData[i] = pData[nEnd - 1]; pData[nEnd - 1] = nTemp; return Partition(pData, nBeging, nEnd); } //排序的递归调用。 int QuickSortRecursion(int* pData, int nBeging, int nEnd) { if (nBeging >= nEnd -1) //如果区域不存在或只有一个数据 则不递归排序 { return 1; } //这里因为分割的时候,分割点处的数据就是排序中他的位置。 //也就是说他的左边的数据都小于等于他,他右边的数据都大于他。 //所以他不在递归调用的数据中。 int i = RandomPartition(pData, nBeging, nEnd); //找到 分割点 QuickSortRecursion(pData, nBeging, i); //递归左 边的排序 QuickSortRecursion(pData, i + 1, nEnd); //递归 右边的排序 return 1; http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif } //快速排序 int QuickSort(int* pData, int nLen) { srand(time(NULL)); //递归调用,快速排序。 QuickSortRecursion(pData, 0, nLen); return 1; } int main() { int nData[10] = {5,9,3,2,1,6,20,45,88,75}; //测试数据 QuickSort(nData, 10); //调用快速排序 for (int i = 0; i < 10; ++i) //输出结果 { printf("%d ", nData[i]); } printf("\n"); system("pause"); return 0; } 快速排序学习 3(最初版) 这次学习了快速排序的最初版的思路,基本也一样,呵呵,不过他在分割的时候, 是两边同时进行而已。注意一点就是他只是分割的大小,但是在分割处并不是排 好的数据,所以要注意一下,不能去掉该数据的迭代。 直接奉上源代码: #include #include //化分区间 ,找到最后元素的排序位置。并返回分隔的点(即最后一数据排序的位置) 。 //划分的区间是 [nBegin, nEnd). pData 是保存数据的指针 int Partition(int* pData, int nBeging, int nEnd) { //这里是和 hoare 的最初快速排序的版本。 int x = pData[nBeging]; --nBeging; while (nBeging < nEnd) { --nEnd; http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif //从后向前,找到比 X 小的元素位置 while(pData[nEnd] > x) { --nEnd; } //小的区域增加,找到一个不比 x 小的元素 ++nBeging; while (pData[nBeging] < x) { ++nBeging; } //把不比 x 小的元素存放在大的区域内。 nEnd 刚好预留了此位置。 if (nBeging < nEnd) { int nTemp = pData[nBeging]; pData[nBeging] = pData[nEnd]; pData[nEnd] = nTemp; } else { break; } } //注意这里并没有给分割点排序,只是做了分割,办证 nEnd+1 的左边小于 //nEnd + 1 的右边。 return nEnd + 1; //返回 nD 的位置,就是分割的位置。 } //排序的递归调用。 int QuickSortRecursion(int* pData, int nBeging, int nEnd) { if (nBeging >= nEnd -1) //如果区域不存在或只有一个数据 则不递归排序 { return 1; } //也就是说他的左边的数据都小于等于他,他右边的数据都大于他。 //所以他不在递归调用的数据中。 int i = Partition(pData, nBeging, nEnd); //找到分割点 QuickSortRecursion(pData, nBeging, i); //递归左 http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif 边的排序 QuickSortRecursion(pData, i, nEnd); //递归右边的 排序 return 1; } //快速排序 int QuickSort(int* pData, int nLen) { //递归调用,快速排序。 QuickSortRecursion(pData, 0, nLen); return 1; } int main() { int nData[10] = {5,9,3,2,1,6,20,45,88,75}; //测试数据 QuickSort(nData, 10); //调用快速排序 for (int i = 0; i < 10; ++i) //输出结果 { printf("%d ", nData[i]); } printf("\n"); system("pause"); return 0; } 快速排序学习 4(最初版加随机版) 这是最初版本的和随机版本的结合,我也修改了一下最初版本的小点东西,思路 还是最初版的思路,只是我把分割符中的数据排好了而已。呵呵。 。 也没有什么 号说的。奉上源代码: #include #include #include //化分区间 ,找到最后元素的排序位置。并返回分隔的点(即最后一数据排序的位置) 。 //划分的区间是 [nBegin, nEnd). pData 是保存数据的指针 int Partition(int* pData, int nBeging, int nEnd) { int i = nBeging + rand()%(nBeging - nEnd); //这里是和 hoare 的思路写的,和原版本不是完全一样,思路是一样的。 int x = pData[i]; pData[i] = pData[nBeging]; http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif pData[nBeging] = x; //int x = pData[nBeging]; --nEnd; while (nBeging < nEnd) { //从后向前,找到比 X 小的元素位置 while(pData[nEnd] > x) { --nEnd; } //把x 小的元素位置提前, nBegin 处刚好能保存比 x 小的元素 if (nBeging < nEnd) { pData[nBeging] = pData[nEnd]; pData[nEnd] = x; //这里是为了做一个哨兵,防止小区 域增加时越界。 ++nBeging; } //小的区域增加,找到一个不比 x 小的元素。 while (pData[nBeging] < x) { ++nBeging; } //把不比 x 小的元素存放在大的区域内。 nEnd 刚好预留了此位置。 if (nBeging < nEnd) { pData[nEnd] = pData[nBeging]; --nEnd; } } pData[nBeging] = x; //这里一定要赋值,不然如果是 nEnd 退出循环,他 是保存着以前的大值,会出错。 return nBeging; //返回 nD 的位置,就是分割的位置。 } //排序的递归调用。 int QuickSortRecursion(int* pData, int nBeging, int nEnd) { if (nBeging >= nEnd -1) //如果区域不存在或只有一个数据 则不递归排序 http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/None.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockStart.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ContractedSubBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedSubBlockEnd.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/InBlock.gif http://www.cppblog.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockEnd.gif { return 1; } //这里因为分割的时候,分割点处的数据就是排序中他的位置。 //也就是说他的左边的数据都小于等于他,他右边的数据都大于他。 //所以他不在递归调用的数据中。 int i = Partition(pData, nBeging, nEnd); //找到分割点 QuickSortRecursion(pData, nBeging, i); //递归左 边的排序 QuickSortRecursion(pData, i + 1, nEnd); //递归 右边的排序 return 1; } //快速排序 int QuickSort(int* pData, int nLen) { srand((unsigned int)time(NULL)); //递归调用,快速排序。 QuickSortRecursion(pData, 0, nLen); return 1; } int main() { int nData[10] = {2,6,3,4,1,5,7,8,10,9}; //测试数据 QuickSort(nData, 10); for (int i = 0; i < 10; ++i) { printf("%d ", nData[i]); } printf("\n"); system("pause"); return 0; } 插入排序 今天我学习的是插入排序,插入排序主要思想是:把要排序的数字插入到已经排 好的数据中。 ( 我自己理 解的哈)。例如12356 是已经排好的序,我们将 4 插入到他们中,时插入之后也 是排好序的。这里显而易见 是插入到 3 的后面。变为 123456. 实现思路:插入排序就是先是一个有序的数据,然后把要插入的数据插到指定的 位置,而排序首先给的就 是无序的,我们怎么确定先得到一个有序的数据呢?答案就是:如果只有一个, 当然是有序的咯。我们先 拿一个出来,他是有序的,然后把数据一个一个插入到其中,那么插入之后是有 序的,所以直到最后都是 有序的。 。 哈哈。结果就出来了! 当然在写的时候还是有一个技巧的,不需要开额外的数组,下标从第二个元素开 始遍历知道最后一个,然 后插入到前面已经有序的数据中。这样就不会浪费空间了。插入排序用处还是很 多的,特别是链表中,因 为链表是指针存放的,没有数组那么好准确的用下标表示,插入是简单有效的方 法。嘻嘻。 。 废话少说, 源代码奉上: 1 #include 2 #include 3 4 //插入排序从下到大, nData 为要排序的数据 ,nNum 为数据的个数 ,该排序是稳定的排序 5 bool InsertionSort(int nData[], int nNum) 6 { 7 for (int i = 1; i < nNum; ++i) //遍历数组,进行 插入排序 8 { 9 int nTemp = nData[i]; 10 for (int j = 0; j < i; ++j) //对该数,寻 找他要插入的位置 11 { 12 if (nData[j] > nTemp) //找到位置,然后插入该位 置,之后的数据后移 13 { 14 for (int k = i; k > j; --k) //数 据后移 15 { 16 nData[k] = nData[k -1]; 17 } 18 nData[j] = nTemp; //将数据插入 到指定位置 19 break; 20 } 21 } 22 } 23 24 return true; 25 } 26 27 int main() 28 { 29 int nData[10] = {4,10,9,8,7,6,5,4,3,2}; //创建 10 个数据,测试 30 InsertionSort(nData, 10); //调用插入排序 31 32 for (int i = 0; i < 10; ++i) 33 { 34 printf("%d ", nData[i]); 35 } 36 37 printf("\n"); 38 system("puase"); 39 return 0; 40 } 冒泡排序 今天学习了冒泡排序,我开始还纳闷怎么书上没有冒泡排序!结果是我的看书不 认真,给漏掉了,这次补上。呵呵。 冒泡排序的主要思路: 我们把要排序的数组 A = {3,4,2,1} 看成一组水泡, 就像冒泡 一样,轻的在上面,重的在下面,换成数据,就是小的在上面,大的在下面。 我 们先把最轻的冒出到顶端, 然后冒出第二轻的在最轻的下面,接着冒出第三轻 的。依次内推。直到所有都冒出来了为止。 3. 我们怎么做到把最轻的放在顶端呢?我们从最底下的数据开始冒,如果比他 上面的数据小,就交换(冒上去) , 然后再用第二第下的数据比较 (此时他已经 是较轻的 一个 ),如果他比他上面的小,则交换,把小的冒上去。直到比到第一 位置,得到的就是最轻的数据咯,这个过程就像是冒泡一样,下面的和上面的比 较,小的冒上 去。大的沉下来。呵呵。 画个图先: 最初 第一次结果 第二次结果 第三次结果 3 3 3 1 4 4 1 3 2 1 4 4 1 2 2 2 开始: 1 和2 比, 1 比2 小,浮上,然后 1 跟4 比,再 1 跟3 比,这样结构就变 为1,3,4,2。最小的位置确定了,然后我们确定第二小的,同理 2 vs 4, 2 vs 3 得到 2,再确定第 3 小数据, 3 vs 4 得到 3,最后就是 4 为最大的数据,我 们冒泡就排好了。 注:这里红色的 1,2 是前一次比较 1 vs 2 交换的结构。后面也一样。 大概思路就这样了,奉上源代码: #include #include //冒泡排序 , pnData 要排序的数据, nLen 数据的个数 int BubbleSort(int* pnData, int nLen) { bool isOk = false; //设置排序是否结束的哨兵 //i 从[0,nLen-1)开始冒泡,确定第 i 个元素 for (int i = 0; i < nLen - 1 &&!isOk; ++i) { isOk = true; //假定排序成功 //从[nLen - 1, i)检查是否比上面一个小,把小的冒泡浮上去 for (int j = nLen- 1; j > i; --j) { if (pnData[j] < pnData[j - 1]) //如果下面的比上 面小,交换 { int nTemp = pnData[j]; pnData[j] = pnData[j - 1]; pnData[j - 1] = nTemp; isOk = false; } } } return 1; } int main() { int nData[10] = {4,10,9,8,7,6,5,4,3,2}; //创建 10 个数据,测试 BubbleSort(nData, 10); //调用冒泡排序 for (int i = 0; i < 10; ++i) { printf("%d ", nData[i]); } printf("\n"); system("pause"); return 0; } 我这里用了一个哨兵做标记,就是如果在已经是排好序的情况下我们能检测出 来并退出。随便说一下,冒泡排序是稳定的排序。 C++冒泡排序算法改进篇 中华硕博网 WWW.CHINA-B.C0M 2009 年03 月17 日来源:互联网 中华硕博网核心提示 : 排序是在程序设计中常碰到的问题,排序算法也有很多种。起泡法是 众所周知的排序算法,其原理是每次将相邻两个数进行比较,较大的下沉 排序是在程序设计中常碰到的问题,排序算法也有很多种。起泡法是众所周知的排序算法, 其原理是每次将相邻两个数进行比较,较大的下沉。其的主程序段如下(用 VC++实现): VoidBubbleSort(intpData,intCount) { IntiTemp; for(inti=1;iCount;i++) { For(intj=Count-1;j=i;j--) { if(pData【j】pData【j-1】) { iTemp=pData【j-1】; pData【j-1】= pData【j】; pData【j】= iTemp; } } } } 我们分析上述程序段可以发现起泡法是从一端开始比较的,第一次循环就是把最小数上升 到第一位置,第二次循环就是把第二最小数上升到第二位置。如此循环实现数 据的排序。 那么我们是否可以找到最小数的同时找到最大数呢?当然可以。方法是在一端起泡时同时在 另一端也进行起泡。即反向起泡。下面的程序段实现的是双向 起泡: voidBubble2Sort(intpData,intCount) { intiTemp; intleft=1; intright=Count-1; intt; do { //正向的部分 for(inti=right;i=left;i--) { if(pData【i】pData【i-1】) { iTemp=pData【i】; pData【i】= pData【i-1】; pData【i-1】= iTemp; t=i; } } left=t+1; //反向的部分 for(i=left;iright+1;i++) { if(pData【i】pData【i-1】) { iTemp=pData【i】; pData【i】= pData【i-1】; pData【i-1】= iTemp; t=i; } } right=t-1; }while(left=right); } 分析上面的程序段我们可以发现正向起泡时第一次循环找出了最小数,反向起泡第一次循环 找到最大数。很显然在一次循环中即可以找到一个最小的数还可以找到一个最大的数,所以 用双向冒泡排序的交换的次数减少了,从而达到了优化起泡法的作用。 选择排序 今天学习了选择排序,选择排序和冒泡排序思路上有一点相似,都是先确定最小 元素,再确定第二笑元素,最后确定最大元素。他的主要流程如下: 1.加入一个数组 A = {5,3,6,2,4,7},我们对他进行排序 2.确定最小的元素放在 A[0]位置,我们怎么确定呢,首先默认最小元素为 5,他 的索引为 0,然后用它跟 3 比较, 比他打,则认为最小元素为 3,他的索引为 1, 然后用 3 跟6 比,发现比他小,最小元素还是 3,然后跟 2 比,最小元素变成了 2,索引为 3,然后跟 4 比,跟 7 比。当比较结束之后,最小元素也尘埃落定了。 就是 2,索引为 3,然后我们把他放在 A[0]处。为了使 A[0]原有数据部丢失,我 们使 A[0](要放的位 置) 与A[3](最小数据的位置)交换。这样就不可以了吗? 3.然后我们在来找第二小元素,放在 A[1],第三小元素,放在 A[2]。。当寻找 完毕,我们排序也就结束了。 4.不过,在找的时候要注意其实位置,不能在找 A[2]的时候,还用 A[2]的数据 跟已经排好的 A[0],A[1]比,一定要跟还没有确定位置的元素比。还有一个技巧 就是我们不能每次都存元素值和索引,我们只存索引就可以了,通过索引就能找 到元素了。呵呵。 5.他和冒泡的相似和区别,冒泡和他最大的区别是他发现比他小就交换,把小的 放上面,而选择是选择到最小的在直接放在确定的位置。选择也是稳定的排序。 基本思路就这样了,奉上源代码: #include #include //选择排序 , pnData 要排序的数据, nLen 数据的个数 int SelectSort(int* pnData, int nLen) { //i 从[0,nLen-1)开始选择,确定第 i 个元素 for (int i = 0; i < nLen - 1; ++i) { int nIndex = i; //遍历剩余数据,选择出当前最小的数据 for (int j = i + 1; j < nLen; ++j) { if (pnData[j] < pnData[nIndex]) { nIndex = j; } } //如果当前最小数据索引不是 i,也就是说排在 i 位置的数据在 nIndex 处 if (nIndex != i) { //交换数据,确定 i 位置的数据。 int nTemp = pnData[i]; pnData[i] = pnData[nIndex]; pnData[nIndex] = nTemp; } } return 1; } int main() { int nData[10] = {4,10,9,8,7,6,5,4,3,2}; //创建 10 个数据,测试 SelectSort(nData, 10); //调用选择排序 for (int i = 0; i < 10; ++i) { printf("%d ", nData[i]); } printf("\n"); system("pause"); return 0; } 希尔排序 今天学习了希尔排序,他的主要思想借用了合并排序的思想。不过他不是左边一 半右边一半,而是按照步长来分,随着步长减少,分成的组也越少。然后进行各 组的插入排序。主要思路就是这样,我在百度百科的博客园找到了其相关学习资 料,附上连接: http://baike.baidu.com/view/178698.htm http://www.cnblogs.com/nokiaguy/archive/2008/05/16/1199359.html 所以就不用写思路了哦,真笨,语文也得好好学学,不然组织语言的能力太差了。 呵呵。 奉上源代码 (因为是自己写的,所以还是贴一下 ): #include #include //对单个组排序 int SortGroup(int* pnData, int nLen, int nBegin,int nStep) { for (int i = nBegin + nStep; i < nLen; i += nStep) { //寻找 i 元素的位置, for (int j = nBegin; j < i; j+= nStep) { //如果比他小,则这里就是他的位置了 if (pnData[i] < pnData[j]) { int nTemp = pnData[i]; for (int k = i; k > j; k -= nStep) { pnData[k] = pnData[k - nStep]; } pnData[j] = nTemp; } } } return 1; } //希尔排序 , pnData 要排序的数据, nLen 数据的个数 int ShellSort(int* pnData, int nLen) { //以nStep 分组, nStep 每次减为原来的一半。 for (int nStep = nLen / 2; nStep > 0; nStep /= 2) { //对每个组进行排序 for (int i = 0 ;i < nStep; ++i) { SortGroup(pnData, nLen, i, nStep); } } return 1; } int main() { int nData[10] = {4,10,9,8,7,6,5,4,3,2}; //创建 10 个数据,测试 ShellSort(nData, 10); //调用希尔排序 for (int i = 0; i < 10; ++i) { printf("%d ", nData[i]); } printf("\n"); system("pause"); return 0; } 合并排序 这次我学的是合并排序。合并排序的主要思想是:把两个已经排序好的序列进行 合并,成为一个排序好的 序列。例如: 13579 2468 这两个序列,各自都是排好序的,然后我们进行合并, 成为 123456789 这样一个 排好序的序列。貌似这个跟排序关系不大,因为排序给的是一个乱的序列,而合 并是合并的两个已经排序 好的序列。且慢,我们可以把需要排序的数据分解成 N 个子序列,当分解的子序 列所包含数据个数为 1 的时 候,那么这个序列不久是有序了吗?然后再合并。这个就是有名的 ”分治 “了。。 (哈哈。没有想到这么 好的思想能在这里学到。)。例如321 分成 3,2,1 三个序列, 1 这个序列是有 序的啦。 ( 只有一个数据当 然是有序的啦。当我傻的啊。哈哈) 。 同理 2,3 都是有序的。然后我们逐一的 合并他们。 3,2 合并为 23, 然后在 23 与1 合并为 123。哈哈,排序成功。合并排序主要思路就是这样了。 但是,问题又出来了,怎么合并两个有序列呢?我相信我应该理解了数组的存储 方式,所以直接用数组说 事啦。 。 我们先把下标定位到各有序子序列的开始,也把合并之后数组的下标定 位到最初。那么下标对应 的位置就是他们当前的最小值了。然后拿他们来比较,把更小的那个放到合并之 后数组的下标位置。这样 ,合并后数组的第一个元素就是他们的最小值了。接着,控制合并后数组的下标 后移一个,把比较时小数 字所在序列对应的下标后移一个。这样。下次比较的时候,他得到就是他的第二 小, ( 第一下已经合并了 )就是当前最小值了,在于另一个序列的当前最小值比较,用小的一个放到合并 后数组的相应位置。依次 类推。接着当数据都合并玩了结束,合并完成。 ( 这样说忒空泛了,云里雾里的, BS 一下以前的我。) 1357 2468 来做例子: (1 回合 ) 1357 2468 00000(合并后数据空 ) (2) 357 2468 100000(0 表示空 ) 因为 1 < 2 所以把 1 放到合并后位置中了(这 里1 并不是丢掉了,而是下 标变为指向 3 了, 1 是没有写而已。呵呵。理解为数组的下标指向了 3) (3) 357 468 120000 因为 3 > 2,所以把而放进去 (4) 57 468 123000 同理 3 < 4 (5) 57 68 1234000 同理 5 > 4 (6) 7 68 1234500 同理 5 > 6 (7) 7 8 1234560 同理 7 > 6 (8) 0(空了 ) 8 12345670 同理 7 < 8 (9) 0 0 12345678 弄最后一个 PS:这是用记事本写的哈,没有钱买 office 而且也不是很会用。哈哈。我想以后 的我也不见怪的哈。 。 关 键还有书嘛,这里看不懂还有教科书。 。 当然,这些只是思路。并不是一定一成不变的这样。合并 OK,那么我们就可以 用合并排序了哦!哈哈。 。 不过注意,那个 321 全部弄成一个单个数字,然后一个一个合并这样来合并似乎 不是很好,貌似还有更好 的解决方案。哈哈,对了,就是我先分一半来合并。如果这一半是排好序的,那 么合并不久简单了吗?但 是我怎么让一般排好序呢。呵呵简单,我一半在分一半合并排序,在分一半合并 排序,直到分到两个都是 1 个了,就合并, ok! 例如, 81726354: (1)分成 9172 6354 (2)把8172 分成 81 和72 把6354 分成 63 和54 (3)81 分成 8 和1,哦能合并了哦。合并为 18, 同理 72,63,54,也可以分解成 单个合并为 27,36,45 (4) 现在变为了 18, 27, 36, 45 了,这个时侯, 18 和27 能合并了,合并为 1278 同理 36,合并为 45 3456 (5) 好了最好吧, 1278 和3456 合并为 12345678.ok 排序成功。哈哈。 这样把一个问题分解为两个或多个小问题,然后在分解,最后解决小小问题,已 达到解决打问题的目的。 哈哈。分治很强大。哈哈。如果看不懂,我也没有办法啦。 。 看教科书吧。呵呵 思路主要就是这样了哦: 程序实现上也有点技巧。这个就不说了,直接奉上源代码: 1 #include 2 #include 3 4 //合并排序的合并程序他合并数组 nData 中位置为 [nP,nM) 和[nM,nR).这个是更接近 标准的思路 5 bool MergeStandard(int nData[], int nP, int nM, int nR) 6 { 7 int n1 = nM - nP; //第一个合并数据的长度 8 int n2 = nR - nM; //第二个合并数据的长度 9 10 int *pnD1 = new int[n1 + 1]; //申请一个保存第一 个数据的空间 11 int *pnD2 = new int[n2 + 1]; //申请二个保存第一 个数据的空间 12 13 for (int i = 0; i < n1; ++i) //复制第一个数据 到临时空间里面 14 { 15 pnD1[i] = nData[nP + i]; 16 } 17 pnD1[n1] = INT_MAX;//将最后 一个数据设置为最大值 (哨兵 ) 18 19 for (int i = 0; i < n2; ++i) //复制第二个数据 到临时空间里面 20 { 21 pnD2[i] = nData[nM + i]; 22 } 23 pnD2[n2] = INT_MAX;//将最后 一个数据设置为最大值 (哨兵 ) 24 25 n1 = n2 = 0; 26 27 while(nP < nR) 28 { 29 nData[nP++] = pnD1[n1] < pnD2[n2] ? pnD1[n1++] : pn D2[n2++]; //取出当前最小值到指定位置 30 } 31 32 delete pnD1; 33 delete pnD2; 34 return true; 35 } 36 37 //合并排序的合并程序他合并数组 nData 中位置为 [nP,nM) 和[nM,nR). 38 bool Merge(int nData[], int nP, int nM, int nR) 39 { 40 //这里面有几个注释语句是因为当时想少写几行而至。看似短了,其实运行时间 是一样的,而且不易阅读。 41 42 int nLen1 = nM - nP; //第一个合并数据的长度 43 int nLen2 = nR - nM; //第二个合并数据的长度 44 int* pnD1 = new int[nLen1]; //申请一个保存第一个数据的空间 45 int* pnD2 = new int[nLen2]; //申请一个保存第一个数据的空间 46 47 int i = 0; 48 for ( i = 0; i < nLen1; ++i) //复制第一个数据 到临时空间里面 49 { 50 pnD1[i] = nData[nP + i]; 51 } 52 53 int j = 0; 54 for (j = 0; j < nLen2; ++j) //复制第二个数据到 临时空间里面 55 { 56 pnD2[j] = nData[nM + j]; 57 } 58 59 i = j = 0; 60 while (i < nLen1 && j < nLen2) 61 { 62 //nData[nP++] = pnD1[i] < pnD2[j] ? pnD1[i++] : pnD2[ j++]; //取出当前最小值添加到数据中 63 64 if (pnD1[i] < pnD2[j]) //取出最小值,并添加 到指定位置中,如果 pnD1[i] < pnD2[j] 65 { 66 nData[nP] = pnD1[i]; //取出 pnD1 的值,然后 i++, 定位到下一个个最小值。 67 ++i; 68 } 69 else //这里同 上 70 { 71 nData[nP] = pnD2[j]; 72 ++j; 73 } 74 ++nP; //最后 np++,到确定下一个数据 75 } 76 77 if (i < nLen1) //如果第一个 数据没有结束(第二个数据已经结束了) 78 { 79 while (nP < nR) //直接把第 一个剩余的数据加到 nData 的后面即可。 80 { 81 //nData[nP++] = pnD1[i++]; 82 nData[nP] = pnD1[i]; 83 ++nP; 84 ++i; 85 } 86 } 87 else //否则(第 一个结束,第二个没有结束) 88 { 89 while (nP < nR) //直接把第 一个剩余的数据加到 nData 的后面即可。 90 { 91 //nData[nP++] = pnD2[j++]; 92 nData[nP] = pnD2[j]; 93 ++nP; 94 ++j; 95 } 96 } 97 98 delete pnD1; //释放申请的内存空间 99 delete pnD2; 100 101 return true; 102 } 103 104 //合并的递归调用 ,排序 [nBegin, nEnd)区间的内容 105 bool MergeRecursion(int nData[], int nBegin, int nEnd) 106 { 107 if (nBegin >= nEnd - 1) //已经到最小颗粒了 ,直接返 回 108 { 109 return false; 110 } 111 112 int nMid = (nBegin + nEnd) / 2; //计算出 他们的中间位置,便于分治 113 MergeRecursion(nData, nBegin, nMid); //递归调用,合并排序好左 边一半 114 MergeRecursion(nData, nMid, nEnd); //递归调用,合并排 序好右边一半 115 //Merge(nData, nBegin, nMid, nEnd); //将已经合并排序 好的左右数据合并,时整个数据排序完成 116 MergeStandard(nData, nBegin, nMid, nEnd);//(用更接近标准的方法合并 ) 117 118 return true; 119 } 120 121 //合并排序 122 bool MergeSort(int nData[], int nNum) 123 { 124 return MergeRecursion(nData, 0, nNum); //调用递归,完 成合并排序 125 } 126 127 int main() 128 { 129 int nData[10] = {4,10,3,8,5,6,7,4,9,2}; //创建 10 个数据,测试 130 131 MergeSort(nData, 10); 132 for (int i = 0; i < 10; ++i) 133 { 134 printf("%d ", nData[i]); 135 } 136 137 printf("\n"); 138 system("pause"); 139 return 0; 140 } 141 堆排序 本来还想写点思路的,词穷,不知道怎么组织,算了。只有贴源代码了。希望以 后的我不要怪我哦!还可以看书嘛。书上讲的已经很清楚了哦。呵呵。 由于是学习,所以只写了最大堆,也没有怎么优化和详细的测试。哎,无奈的贴 上源代码: #include #include //交换两个整数。注意一定要 if 判断是否两个相等,如果 //不相等才交换,如果相等也交换会出错的。 a^a = 0 inline void Swap(int& a, int& b) { if (a != b) { a^= b; b^= a; a^= b; } } //维持一个最大堆 int Heapify(int* npData, int nPos, int nLen) { int nMax = -1; //暂存最大 值 int nChild = nPos * 2; //他的左孩子位置 while(nChild <= nLen) //判断他是否有孩子 { nMax = npData[nPos]; //是当前最大值为他 if (nMax < npData[nChild]) //与左孩子比较 { nMax = npData[nChild]; //如果比左孩子小,就 时最大值为左孩子 } //同理与右孩子比较,这里要注意,必须要保证有右孩子。 if (nChild + 1 <= nLen && nMax < npData[nChild + 1]) { ++nChild; //赋值最大 值的时候把孩子变为右孩子,方便最后的数据交换 nMax = npData[nChild]; } if (nMax != npData[nPos]) //判断是否该节点比孩子 都打,如果不大 { Swap(npData[nPos], npData[nChild]); //与最大孩子交 换数据 nPos = nChild; //该节点位置变为交换孩子的位置 nChild *= 2; //因为只有交换后才使不满足堆得性质。 } else //都最 大了,满足堆得性质了。退出循环 { break; } } return 1; //维持结束。 } //建立一个堆 int BuildHeap(int* npData, int nLen) { //从nLen / 2 最后一个有叶子的数据开始,逐一的插入堆,并维持堆得平衡。 //因为堆是一个完全二叉树,所以 nlen/2+1- nLen 之间肯定都是叶子。 //叶子还判断什么呢。只有一个数据,肯定满足堆得性质咯。 for (int i = nLen / 2; i >= 1; --i) { Heapify(npData, i, nLen); } return 1; } //堆排序 int HeapSort(int* npData, int nLen) { BuildHeap(npData, nLen); //建立一个堆。 while(nLen >= 1) //逐一交和第一个元素交换 数据到最后 {//完成排序 Swap(npData[nLen], npData[1]); --nLen; Heapify(npData, 1, nLen);//交换之后一定要维持一下堆得性质。 }//不然小的成第一个 元素 ,就不是堆了。 return 1; } //main 函数, int main() { int nData[11] = {0,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}; //测试数据,下标从 1 开始 哦。 HeapSort(nData, 10); //堆排 序 for (int i = 1; i <= 10; ++i) //输出 排序结果。 { printf("%d ", nData[i]); } printf("\n"); system("pause"); return 0; } 用堆实现优先队列 昨天学习了用堆排序,今天学习了用堆实现优先队列。呵呵。都没有思路好记录 的,记住堆的性质: 1.一个是他是一个数组(当然你也可以真的用链表来做。 ) 。 2.他可以看做一个完全二叉树。注意是完全二叉树。所以他的叶子个数刚好是 nSize / 2 个。 3.我使用的下标从 1 开始,这样好算,如果节点的位置为 i,他的父节点就是 i/2, 他的左孩子结点就是 i*2,右孩子结点就是 i*2+1,如果下标从 0 开始,要复杂一 点。 4.他的父节点一定不比子节点小(我所指的是最大堆) 。 由这些性质就可以看出堆得一些优点: 1.可以一下找到最大值,就在第一个位置 heap[1]. 2.维持堆只需要 log(2,n)(n 是数据个数 )的复杂度,速度比较快。他只需要比较 父与子之间的大小关系,所以比较次数就是树的高度,而他是一个完全二叉树, 所以比较次数就是 log(2,n)。 具体实现: 具体实现就看看源代码吧!努力地组织了一下,呵呵,希望能看懂,奉上源代码: #include #include //定义一个堆得结构体, struct MyHeap { int* pnData; //指向数据的指针 int nSize; //当前堆中的元素个数 }; //调整数据,维持堆得性质,这个和上次 heapify 的作用一样 //只是这个时从子道父节点这样的判断而已。 int IncreaseKey(MyHeap* pHeap, int nPos) { //循环和他父节点判断,只要 nPos > 1 他就有父节点 while(nPos > 1) { int nMax = pHeap->pnData[nPos]; int nParent = nPos / 2; //如果他比父节点大,交换数据,并使判断进入父节点 //(因为只有父节点可能会影响堆得性质。他的数据改变了。 ) if (nMax > pHeap->pnData[nParent]) { pHeap->pnData[nPos] = pHeap->pnData[nParent]; pHeap->pnData[nParent] = nMax; nPos = nParent; } else //否则堆没有被破坏,退出循环 { break; } } return 1; } //插入数据,这里 pnHeap 为要插入的队, nLen 为当前堆得大小。 //nData 为要插入的数据,这里注意报保证堆得空间足够。 int Insert(MyHeap* pHeap, int nData) { ++pHeap->nSize; //添加数据到末尾 pHeap->pnData[pHeap->nSize] = nData; IncreaseKey(pHeap, pHeap->nSize); return 1; } //弹出堆中对大元素,并使堆得个数减一 int PopMaxHeap(MyHeap* pHeap) { int nMax = pHeap->pnData[1]; //得到最大元素 //不要忘记维持堆得性质,因为最大元素已经弹出了,主要思路就是 //同他最大孩子填充这里。 int nPos = 1; //起始位 1,因为他弹出,所以是这里开 始破坏堆得性质的 int nChild = nPos * 2; //他的左孩子的位置, //循环填充,用最大孩子填充父节点 while(nChild <= pHeap->nSize) { int nTemp = pHeap->pnData[nChild]; if (nChild + 1 <= pHeap->nSize && nTemp < pHeap->pnData[nChild + 1]) { ++nChild; nTemp = pHeap->pnData[nChild]; } pHeap->pnData[nPos] = nTemp; nPos = nChild; nChild *= 2; } //最好一个用最末尾的填充。 pHeap->pnData[nPos] = pHeap->pnData[pHeap->nSize]; --pHeap->nSize; //堆个数量减一 return nMax; //返回最大值。 } //程序入口 main int main() { MyHeap myHeap; //定义一个堆 myHeap.pnData = (int*)::malloc(sizeof(int) *11); //申请数据空间 myHeap.nSize = 0; //初始大小为 0 for (int i = 1; i <= 10; ++i) //给优先队列堆里添加数 据 { Insert(&myHeap, i); } for (int i = 1; i <= 10; ++i) //测试优先队列是否建立 成功 { printf("%d ", myHeap.pnData[i]); } printf("\n"); while(myHeap.nSize > 0) //逐一弹出队列的最大值。并验证 { printf("%d ", PopMaxHeap(&myHeap)); } printf("\n"); ::free(myHeap.pnData); //最后不要忘记释放申请的空间 system("pause"); return 0; } 基数排序 今天学了基数排序,据说他的时间复杂度也是 O(n),他的思路就是: 没有计数排序那么理想,我们的数据都比较集中,都比较大,一般是 4,5 位。 基本没有小的数据。 那我们的处理很简单,你不是没有小的数据嘛。我给一个基数,例如个位,个 位都是 [0-10)范围内的。先对他进行归类,把小的放上面,大的放下面,然后个 位排好了,在来看 10 位,我们也这样把小的放上面,大的放下面,依次内推, 直到最高位排好。那么不就排好了吗?我们只需要做 d(基数个数 )的循环就可以 了。 时间复杂度相当于 O(d * n) 因为 d 为常量,例如 5 位数, d 就是 5.所以 近似为 O(n)的时间复杂度。这次自己写个案例: 最初的数据 排好个位的数据 排好十位的数据 排好百位的数据 981 981 725 129 387 753 129 387 753 955 753 456 129 725 955 725 955 456 456 753 725 387 981 955 456 129 387 981 这里只需循环 3 次就出结果了。 3. 但是注意,我们必 须要把个位排好。但是个位怎么排呢?这个是个问题。书上说的是一叠一叠的怎 么合并,我是没有理解的。希望知道的有高手教我一下。 我是用的一个计数排序来排各位的,然后排十位。效率应该也低不到哪里去。呵 呵。。 思路就这样咯。奉上源代码: #include #include //计数排序, npRadix 为对应的关键字序列, nMax 是关键字的范围。 npData 是具体要 //排的数据, nLen 是数据的范围,这里必须注意 npIndex 和npData 对应的下标要一致 //也就是说 npIndex[1] 所对应的值为 npData[1] int RadixCountSort(int* npIndex, int nMax, int* npData, int nLen) { //这里就不用说了,计数的排序。不过这里为了是排序稳定 //在标准的方法上做了小修改。 int* pnCount = (int*)malloc(sizeof(int)* nMax); //保存 计数的个数 for (int i = 0; i < nMax; ++i) { pnCount[i] = 0; } for (int i = 0; i < nLen; ++i) //初始化计数个数 { ++pnCount[npIndex[i]]; } for (int i = 1; i < 10; ++i) //确定不大于该位置的个数。 { pnCount[i] += pnCount[i - 1]; } int * pnSort = (int*)malloc(sizeof(int) * nLen); //存放零时 的排序结果。 //注意:这里 i 是从 nLen-1 到0 的顺序排序的,是为了使排序稳定。 for (int i = nLen - 1; i >= 0; --i) { --pnCount[npIndex[i]]; pnSort[pnCount[npIndex[i]]] = npData[i]; } for (int i = 0; i < nLen; ++i) //把排序结构输入到返 回的数据中。 { npData[i] = pnSort[i]; } free(pnSort); //记得释放资源。 free(pnCount); return 1; } //基数排序 int RadixSort(int* nPData, int nLen) { //申请存放基数的空间 int* nDataRadix = (int*)malloc(sizeof(int) * nLen); int nRadixBase = 1; //初始化倍数基数为 1 bool nIsOk = false; //设置完成排序为 false //循环,知道排序完成 while (!nIsOk) { nIsOk = true; nRadixBase *= 10; for (int i = 0; i < nLen; ++i) { nDataRadix[i] = nPData[i] % nRadixBase; nDataRadix[i] /= nRadixBase / 10; if (nDataRadix[i] > 0) { nIsOk = false; } } if (nIsOk) //如果所有的基数都为 0,认为排序完成,就 是已经判断到最高位了。 { break; } RadixCountSort(nDataRadix, 10, nPData, nLen); } free(nDataRadix); return 1; } int main() { //测试基数排序。 int nData[10] = {123,5264,9513,854,9639,1985,159,3654,8521,8888}; RadixSort(nData, 10); for (int i = 0; i < 10; ++i) { printf("%d ", nData[i]); } printf("\n"); system("pause"); return 0; } 计数排序,传说时间复杂度为 0(n)的排序 计数排序: 今天学习了计数排序,貌似计数排序的复杂度为 o(n)。很强大。他的基本思路 为: 我们希望能线性的时间复杂度排序,如果一个一个比较,显然是不实际的,书上 也在决策树模型中论证了,比较排序的情况为 nlogn 的复杂度。 既然不能一个一个比较,我们想到一个办法,就是如果我在排序的时候就知道他 的位置,那不就是扫描一遍,把他放入他应该的位置不就可以了嘛。 要知道他的位置,我们只需要知道有多少不大于他不就可以了吗? 以此为出发点,我们怎么确定不大于他的个数呢?我们先来个约定,如果数组中 的元素都比较集中,都在 [0, max]范围内。我们开一个 max 的空间 b 数组,把 b 数组下标对应的元素和要排序的 A 数组下标对应起来。这样不就可以知道不比他 大的有多少个了吗?我们只 要把比他小的位置元素个数求和,就是不比他大的。 例如: A={3,5,7};我们开一个大小为 8 的数组 b,把 a[0] = 3 放入 b[3]中,使 b[3] = 0; 同理 b[5] = 1; b[7] = 2;其他我们都设置为 -1,哈哈我们只需要遍 历一下 b 数组,如果他有数据,就来出来,铁定是当前最小的。如果要知道比 a[2]小的数字有多少个,值只需要 求出 b[0] – b[6]的有数据的和就可以了。 这个 0(n)的速度不是盖得。 思路就是这样咯。但是要注意两个数相同的情况 A = {1,2,3,3,4},这种情况就 不可以咯,所以还是有点小技巧的。 处理小技巧:我们不把 A 的元素大小与 B 的下标一一对应,而是在 B 数组对应处 记录该元素大小的个数。这不久解决了吗。哈哈。例 如A = {1,2,3,3,4}我们 http://www.cppblog.com/images/cppblog_com/shongbee2/111.jpg http://www.cnblogs.com/Images/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif http://www.cnblogs.com/Images/OutliningIndicators/ExpandedBlockStart.gif 开大小为 5 的数组 b;记录数组 A 中元素值为 0 的个数为 b[0] = 0, 记录数组 A 中元素个数为 1 的b[1] = 1,同理 b[2] = 1, b[3] = 2, b[4] = 1;好了,这样 我们就知道比 A[4](4)小的元素个数是多少了: count = b[0] + b[1] + b[2] + b[3] = 4;他就把 A[4]的元素放在第 4 个位置。 还是截张书上的图: 再次推荐《算法导论》这本书,在我的上次的随笔中有下载链接。哈哈。真正支 持还是需要买一下纸版。呵呵。 几种排序算法的效率 对于排序算法的效率一直不太清楚,今天自己动手试了一试,才发现对于大量数 据的排序时,各个算法效率的差异实在惊人! 代码如下: /******************************************************************** created: 2009/03/22 created: 22:3:2009 20:58 filename: e:\Graduate\Sort\Sort\Sort.cpp file path: e:\Graduate\Sort\Sort file base: Sort file ext: cpp author: zwicker purpose: 用来演示几种排序的效率 *********************************************************************/ #include #include #include using namespace std; //随机初始化数组 void initArray(int a[],int n) { srand(GetTickCount()); for (int i=0;i0&&tmppast;j--) { if(a[j]=0;i--) { h=increaments[i]; for(hCnt=h;hCnt<2*h;hCnt++) { for(j=hCnt;j0&&tmpa[i+1]) return false; } return true; } //快速排序 void quickSort(int data[],int first,int last) { int lower=first+1,upper=last; swapValue(data[first],data[(first+last)/2]); int bound=data[first]; while (lower<=upper) { while (data[lower]>k; } 这是运行结果: The array has benn insertionSorted! The array has benn selectionSorted! The array has benn bubbleSorted! The array has been shellSorted! The array has been quickSorted! InsertionSort Elapsed:3219 SelectionSort Elapsed:4344 BubbleSort Elapsed:18171 ShellSort Elapsed:32 QuickSort Elapsed:15 另一组测试数据: The array has benn insertionSorted! The array has benn selectionSorted! The array has benn bubbleSorted! The array has been shellSorted! The array has been quickSorted! InsertionSort Elapsed:2860 SelectionSort Elapsed:4125 BubbleSort Elapsed:17406 ShellSort Elapsed:16 QuickSort Elapsed:0 从运行结果可以看出对于大数据量的排序,快速排序效率比最慢的冒泡排序要快 100 多倍,多么惊人! 几种排序算法的实现代码 收藏 本程序在 VC6.0 下测试通过。具体实现见代码。 view plaincopy to clipboardprint? ·········10········20········30········40········50········60········70········80········90········100·······110·······120······· 130·······140·······150 1. #include 2. using namespace std; 3. 4. /* 5. ======================================================================= ====== 6. 1、稳定排序和非稳定排序 7. 8. 简单地说就是所有相等的数经过某种排序方法后,仍能保持它们在排序之前的相 对次序,我们就 9. 说这种排序方法是稳定的。反之,就是非稳定的。 10. 比如:一组数排序前是 a1,a2,a3,a4,a5,其中 a2=a4,经过某种排序后为 a1,a2,a4,a3,a5, 11. 则我们说这种排序是稳定的,因为 a2 排序前在 a4 的前面,排序后它还是在 a4 的 前面。假如变成 a1,a4, 12. a2,a3,a5 就不是稳定的了。 13. 14. 2、内排序和外排序 15. 16. 在排序过程中,所有需要排序的数都在内存,并在内存中调整它们的存储顺序, 称为内排序; 17. 在排序过程中,只有部分数被调入内存,并借助内存调整数在外存中的存放顺序 排序方法称为外排序。 18. 19. 3、算法的时间复杂度和空间复杂度 20. 21. 所谓算法的时间复杂度,是指执行算法所需要的计算工作量。 22. 一个算法的空间复杂度,一般是指执行这个算法所需要的内存空间。 23. ======================================================================= ========= 24. */ 25. 26. /* 27. ================================================ 28. 功能:选择排序 29. 输入:数组名称(也就是数组首地址) 、 数组中元素个数 30. ================================================ 31. ==================================================== 32. 算法思想简单描述: 33. 34. 在要排序的一组数中,选出最小的一个数与第一个位置的数交换; 35. 然后在剩下的数当中再找最小的与第二个位置的数交换,如此循环 36. 到倒数第二个数和最后一个数比较为止。 37. 38. 选择排序是不稳定的。算法复杂度 O(n2)--[n 的平方 ] 39. ===================================================== 40. */ 41. void select_sort(int *x, int n) 42. { 43. int i, j, min, t; 44. 45. for(i=0; i =2] 个数已经是排 75. 好顺序的,现在要把第 n 个数插到前面的有序数中,使得这 n 个数 76. 也是排好顺序的。如此反复循环,直到全部排好顺序。 77. 78. 直接插入排序是稳定的。算法时间复杂度 O(n2)--[n 的平方 ] 79. ===================================================== 80. */ 81. void insert_sort(int *x, int n) 82. { 83. int i, j, t; 84. 85. for (i=1; i =0 && t <*(x+j); j--) /*注意: j=i-1,j--,这里就是下标为 i 的数,在 它前面有序列中找插入位置。 */ 94. { 95. *(x+j+1) = *(x+j); /*如果满足条件就往后挪。最坏的情况就是 t 比下标为 0 的 数都小,它要放在最前面, j==-1,退出循环 */ 96. } 97. *(x+j+1) = t; /*找到下标为 i 的数的放置位置 */ 98. } 99. } 100. 101. 102. /* 103. ================================================ 104. 功能:冒泡排序 105. 输入:数组名称(也就是数组首地址) 、 数组中元素个数 106. ================================================ 107. ==================================================== 108. 算法思想简单描述: 109. 110. 在要排序的一组数中,对当前还未排好序的范围内的全部数,自上 111. 而下对相邻的两个数依次进行比较和调整,让较大的数往下沉,较 112. 小的往上冒。即:每当两相邻的数比较后发现它们的排序与排序要 113. 求相反时,就将它们互换。 114. 115. 下面是一种改进的冒泡算法,它记录了每一遍扫描后最后下沉数的 116. 位置 k,这样可以减少外层循环扫描的次数。 117. 118. 冒泡排序是稳定的。算法时间复杂度 O(n2)--[n 的平方 ] 119. ===================================================== 120. */ 121. void bubble_sort(int *x, int n) 122. { 123. int j, k, h, t; 124. 125. for (h=n-1; h>0; h=k) /*循环到没有比较范围 */ 126. { 127. for (j=0, k=0; j *(x+j+1)) /*大的放在后面,小的放到前面 */ 130. { 131. t = *(x+j); 132. *(x+j) = *(x+j+1); 133. *(x+j+1) = t; /*完成交换 */ 134. k = j; /*保存最后下沉的位置。这样 k 后面的都是排序排好了的。 */ 135. } 136. } 137. } 138. } 139. 140. 141. /* 142. ================================================ 143. 功能:希尔排序 144. 输入:数组名称(也就是数组首地址) 、 数组中元素个数 145. ================================================ 146. ==================================================== 147. 算法思想简单描述: 148. 149. 在直接插入排序算法中,每次插入一个数,使有序序列只增加 1 个节点, 150. 并且对插入下一个数没有提供任何帮助。如果比较相隔较远距离(称为 151. 增量)的数,使得数移动时能跨过多个元素,则进行一次比较就可能消除 152. 多个元素交换。 D.L.shell 于1959 年在以他名字命名的排序算法中实现 153. 了这一思想。算法先将要排序的一组数按某个增量 d 分成若干组,每组中 154. 记录的下标相差 d.对每组中全部元素进行排序,然后再用一个较小的增量 155. 对它进行,在每组中再进行排序。当增量减到 1 时,整个要排序的数被分成 156. 一组,排序完成。 157. 158. 下面的函数是一个希尔排序算法的一个实现,初次取序列的一半为增量, 159. 以后每次减半,直到增量为 1。 160. 161. 希尔排序是不稳定的。 162. ===================================================== 163. */ 164. void shell_sort(int *x, int n) 165. { 166. int h, j, k, t; 167. 168. for( h=n/2; h>0; h=h/2 )/*控制增量 */ 169. { 170. for( j=h; j =0 && t <*(x+k)); k-=h) 174. { 175. *(x+k+h) = *(x+k); 176. } 177. *(x+k+h) = t; 178. } 179. } 180. } 181. 182. 183. /* 184. ================================================ 185. 功能:快速排序 186. 输入:数组名称(也就是数组首地址) 、 数组中起止元素的下标 187. ================================================ 188. ==================================================== 189. 算法思想简单描述: 190. 191. 快速排序是对冒泡排序的一种本质改进。它的基本思想是通过一趟 192. 扫描后,使得排序序列的长度能大幅度地减少。在冒泡排序中,一次 193. 扫描只能确保最大数值的数移到正确位置,而待排序序列的长度可能只 194. 减少 1。快速排序通过一趟扫描,就能确保某个数(以它为基准点吧) 195. 的左边各数都比它小,右边各数都比它大。然后又用同样的方法处理 196. 它左右两边的数,直到基准点的左右只有一个元素为止。它是由 197. C.A.R.Hoare 于1962 年提出的。 198. 199. 显然快速排序可以用递归实现,当然也可以用栈化解递归实现。下面的 200. 函数是用递归实现的,有兴趣的朋友可以改成非递归的。 201. 202. 快速排序是不稳定的。最理想情况算法时间复杂度 O(nlog2n),最坏 O(n2) 203. 204. ===================================================== 205. */ 206. void quick_sort(int *x, int low, int high) 207. { 208. int i, j, t; 209. 210. if( low < high )/*要排序的元素起止下标,保证小的放在左边,大的放在右边。这 里以下标为 low 的元素为基准点 */ 211. { 212. i = low; 213. j = high; 214. t = *(x+low); /*暂存基准点的数 */ 215. 216. while(i t) /*在右边的只要比基准点大仍放在右边 */ 219. { 220. j--; /*前移一个位置 */ 221. } 222. 223. if (i =h2i,hi>=2i+1)或( hi <=h2i,hi <=2i+1)(i=1,2,...,n/2) 258. 时称之为堆。在这里只讨论满足前者条件的堆。 259. 260. 由堆的定义可以看出,堆顶元素(即第一个元素)必为最大项。完全二叉树可以 261. 很直观地表示堆的结构。堆顶为根,其它为左子树、右子树。 262. 初始时把要排序的数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树,调整它们的存储顺 序, 263. 使之成为一个堆,这时堆的根节点的数最大。然后将根节点与堆的最后一个节 点 264. 交换。然后对前面 (n-1)个数重新调整使之成为堆。依此类推,直到只有两个节点 265. 的堆,并对它们作交换,最后得到有 n 个节点的有序序列。 266. 267. 从算法描述来看,堆排序需要两个过程,一是建立堆,二是堆顶与堆的最后一个 元素 268. 交换位置。所以堆排序有两个函数组成。一是建堆的渗透函数,二是反复调用渗 透函数 269. 实现排序的函数。 270. 271. 堆排序是不稳定的。算法时间复杂度 O(nlog2n)。 272. 273. */ 274. /* 275. 功能:渗透建堆 276. 输入:数组名称(也就是数组首地址) 、 参与建堆元素的个数、从第几个元素开 始 277. */ 278. void sift(int *x, int n, int s) 279. { 280. int t, k, j; 281. 282. t = *(x+s); /*暂存开始元素 */ 283. k = s; /*开始元素下标 */ 284. j = 2*k + 1; /*右子树元素下标 */ 285. 286. while (j =0; i--) 319. { 320. sift(x,n,i); /*初始建堆 */ 321. } 322. 323. for (k=n-1; k>=1; k--) 324. { 325. t = *(x+0); /*堆顶放到最后 */ 326. *(x+0) = *(x+k); 327. *(x+k) = t; 328. sift(x,k,0); /*剩下的数再建堆 */ 329. } 330. } 331. 332. 333. const int MAX = 5; 334. void SelectSort() 335. { 336. std::cout<<"********************************* \n"; 337. std::cout<<"*** *1. 直接插入排序 ***\n"; 338. std::cout<<"*** *2. 希尔排序 ***\n"; 339. std::cout<<"*** *3. 冒泡排序 ***\n"; 340. std::cout<<"*** *4. 快速排序 ***\n"; 341. std::cout<<"*** *5. 简单选择排序 ***\n"; 342. std::cout<<"*** *6. 堆排序 ***\n"; 343. std::cout<<"*** *0. 退出 ***\n"; 344. std::cout<<"********************************* \n"; 345. } 346. 347. void main() 348. { 349. int *p, i, a[MAX]; 350. 351. /*录入测试数据 */ 352. p = a; 353. std::cout<<"Input "<>cSel; 365. 366. switch(cSel) 367. { 368. case '0': 369. exit(0); 370. case '1': 371. /*测试直接插入排序 */ 372. p = a; 373. insert_sort(p,MAX); 374. break; 375. case '2': 376. /*测试希尔排序 */ 377. p = a; 378. shell_sort( p, MAX); 379. break; 380. case '3': 381. /*测试冒泡排序 */ 382. p = a; 383. bubble_sort(p,MAX); 384. break; 385. case '4': 386. /*测试快速排序 */ 387. p = a; 388. quick_sort(p,0,MAX-1); 389. break; 390. case '5': 391. /*测试选择排序 */ 392. p = a; 393. select_sort(p,MAX); 394. break; 395. case '6': 396. /*测试堆排序 */ 397. p = a; 398. heap_sort(p,MAX); 399. break; 400. default: 401. ; 402. } 403. 404. for( p=a, i=0; i 2. #include 3. #define ARRAY_LENGTH 9 4. void shellsort(int v[], int n); 5. void arrayPrintf(int v[], int n); 6. void traceShellsort(int v[], int n); 7. int traceOut(int n, int gap, int i, int j, int isnewline); 8. int traceCount; 9. int main(void) 10. { 11. int arr[ARRAY_LENGTH] = { 12, 2, 20, 19, 28, 30, 12, 42, 35 }; 12. printf("Original array:\t\t"); 13. arrayPrintf(arr, ARRAY_LENGTH); 14. /*sort the array by shell arithmetic*/ 15. //shellsort(arr, ARRAY_LENGTH); 16. traceShellsort(arr,ARRAY_LENGTH); 17. putchar('\n'); 18. printf("MinToMax array:\t\t"); 19. arrayPrintf(arr, ARRAY_LENGTH); 20. return EXIT_SUCCESS; 21. } 22. 23. /*shellsort 函数:按递增顺序对 v[0]…v[n-1]进行排序 */ 24. void shellsort(int v[], int n) 25. { 26. int gap, i, j, temp; 27. for (gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2) 28. { 29. for (i = gap; i < n; i++) 30. { 31. for (j = i - gap; j >= 0 && v[j] > v[j + gap]; j -= gap) 32. { 33. temp = v[j]; 34. v[j] = v[j + gap]; 35. v[j + gap] = temp; 36. } 37. } 38. } 39. } 40. /*shell 排序算法的跟踪版,相同的算法,它将输出带有跟踪过程的数据 */ 41. void traceShellsort(int v[], int n) 42. { 43. int gap, i, j, temp; 44. extern int traceCount; 45. traceCount = 1; 46. for (gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2) 47. { 48. for (i = gap; i < n; i++) 49. { 50. for (j = i - gap; 51. traceOut(n, gap, i, j, !(j >= 0 && v[j] > v[j+ gap])) && j >= 0 && v[j] > v[j + gap]; 52. j -= gap ) 53. { 54. temp = v[j]; 55. v[j] = v[j + gap]; 56. v[j + gap] = temp; 57. arrayPrintf(v, n); 58. } 59. } 60. } 61. } 62. 63. /*用于跟踪交换过程 */ 64. int traceOut(int n, int gap, int i, int j, int isnewline) 65. { 66. printf("%2d. n=%d gap=%d i=%d j=%2d %c", traceCount++, n, gap, i, j,isnewline ?'\n' :' '); 67. return 1; 68. } 69. /*用于输出一组数组 */ 70. void arrayPrintf(int v[], int n) 71. { 72. int i; 73. for (i = 0; i < n; i++) 74. { 75. printf("%d ", v[i]); 76. } 77. putchar('\n'); 78. } #include #include #define ARRAY_LENGTH 9 void shellsort(int v[], int n); void arrayPrintf(int v[], int n); void traceShellsort(int v[], int n); int traceOut(int n, int gap, int i, int j, int isnewline); int traceCount; int main(void) { int arr[ARRAY_LENGTH] = { 12, 2, 20, 19, 28, 30, 12, 42, 35 }; printf("Original array:\t\t"); arrayPrintf(arr, ARRAY_LENGTH);/*sort the array by shell arithmetic*/ //shellsort(arr, ARRAY_LENGTH); traceShellsort(arr, ARRAY_LENGTH); putchar('\n'); printf("MinToMax array:\t\t"); arrayPrintf(arr, ARRAY_LENGTH); return EXIT_SUCCESS; } /*shellsort 函数:按递增顺序对 v[0].v[n-1]进行排序 */ void shellsort(int v[], int n) { int gap, i, j, temp; for (gap = n / 2; 结构输出 Original array: 12 2 20 19 28 30 12 42 35 1. n=9 gap=4 i=4 j= 0 2. n=9 gap=4 i=5 j= 1 3. n=9 gap=4 i=6 j= 2 12 2 12 19 28 30 20 42 35 4. n=9 gap=4 i=6 j=-2 5. n=9 gap=4 i=7 j= 3 6. n=9 gap=4 i=8 j= 4 7. n=9 gap=2 i=2 j= 0 8. n=9 gap=2 i=3 j= 1 9. n=9 gap=2 i=4 j= 2 10. n=9 gap=2 i=5 j= 3 11. n=9 gap=2 i=6 j= 4 12 2 12 19 20 30 28 42 35 12. n=9 gap=2 i=6 j= 2 13. n=9 gap=2 i=7 j= 5 14. n=9 gap=2 i=8 j= 6 15. n=9 gap=1 i=1 j= 0 2 12 12 19 20 30 28 42 35 16. n=9 gap=1 i=1 j=-1 17. n=9 gap=1 i=2 j= 1 18. n=9 gap=1 i=3 j= 2 19. n=9 gap=1 i=4 j= 3 20. n=9 gap=1 i=5 j= 4 21. n=9 gap=1 i=6 j= 5 2 12 12 19 20 28 30 42 35 22. n=9 gap=1 i=6 j= 4 23. n=9 gap=1 i=7 j= 6 24. n=9 gap=1 i=8 j= 7 2 12 12 19 20 28 30 35 42 25. n=9 gap=1 i=8 j= 6 MinToMax array: 2 12 12 19 20 28 30 35 42 Press any key to continue 收稿日期 :2003 - 09 - 26 ;修回日期 :2003 - 12 - 02 作者简介 :陈树平 (1963 -),男,河南宁陵人 ,商丘师范学院副教授 ,主要从事计算机网络和数据库方面的研究 . 第20 卷第 5 期 2004 年10 月 商丘师范学院学报 JOURNALOFSHANGQIUTEACHERSCOLLEGE Vol. 20 No. 5 October , 2004 排序算法时间复杂度的研究 陈树平 1 ,梁咏梅 2 (11 商丘师范学院 计算机系 ,河南 商丘 476000 ;21 商丘工业学校 ,河南 商丘 476000) 摘要:算法设计的 好坏 直接 影响 计算 机的 运行 时间 ,计算机排序 方法 较多 ,时间复杂度 差别 较大 . 本文 从理论 上研究了线性排序 (选择法、 冒 泡法、 计 数法 )、 比 较排序、 堆 排序和快速排序等几种常用的排序算法的时间 复 杂度 . 关键词 :排序 ;算法 ;时间复杂度 ;程序 ;元素 中图分类号 : TP311111 文献标识码 :A 文章编号 :1672 - 3600(2004) 05 - 0074 - 04 Research of sorting algorithems time complexity CHEN Shu2ping1 ,LIANG Yong2mei2 (1.Department of Computer ,Shanqiu Teachers College ,Shangqiu 476000 ,China ;2. Shangqiu Industrial School ,Shangqiu 476000 ,China) Abstract :The design of algorithms composition indirectly influences running time of computer. There are many sorting algorithms ,but time complexity of sorting algorithms have a great difference. A few of sorting algorithms LINERSORT(SELECTSORT,BUBBLESORT),COUNTSORT,SORTINGBYCOMPARISONS,HEAP2 SORT and QUICKSORT’time complexity was researched. Key words :sorting ;algorithms ;time complexity ;program ;element 0 引言 排序 问题是在计算机中经常出现的问题, 通常 我们将排序分为内部排序和外部排序, 外部 排 序 一 般 是 对 大量 的数据排 序,数据 不能同时放入计算机内存,在排 序期间数据在内存和外存之间进行交换;内部 排 序 是 在 排 序 期 间 ,将 数据放入计算机 内存的排序 方法 . 本文主要研 究内 部排 序算 法 . 内部排序我 们可 以用 线性 排序 (选择法 、冒泡法 、计数法 )、 比较排序 、堆排序 、快 速排 序 等 多 种 方 法 实 现 ,这些 算法执行效率差别较大,我们 通常用时间复杂度和空间复杂度来衡量算法效率. 空间复杂度比 较简 单 ,在目 前计算机存储空间越来越大的情况下,我们 更关心算法的时间复杂度. 尽管 目 前 计 算 机 运 行 速度 高得惊人 ,但如 果算法设计得不好 , 也不可能从根本上改变程序运行的效率 , 仍可能使程序运行速度缓慢 . 例如 A 算法的时 间复杂度是 O( n) ,B 算法 的 时 间 复 杂 度 是 O( n3) ,如果 A 算法 在 1 s 的时 间 能 解 决 1000 个问 题 ,B 算法 只 能 解 决 10 个问题 ,1 h A 可以解 决316 ×106 个同样的问题 ,而B 只能解决 153 个. 如果将计算机的速度提高 1000 倍,那么 A 在同样的时 间内 ,可以解决 1000 个同样的问题 ,而B 只能解决 10 倍同样的问题 ,所以我们应该在重视计算机速度的提高的同时 ,更应该注重 研究程序的算法 . 为了便于数 据的 统计 和查 找 ,我们往往对 一些 给定 的数 据按 照某 种规 律进 行重 新组 织 , 我们称为排 序 . 例如将 学生的考 试成绩按分 数高 低 (或低到高 ) 排名次 ,对于英文字 典 ,按英文字母 出现 的先 后顺 序 ,排列英文单 词 ,便于人们 查阅 . 计算机排 序就是对给 定的 n 个元素 A 1 、A2 、..、A n ,每个元素 Ai 都有一个关 键字 Ki ,按照关键字 值的 规律 (从大 到小或者从小到大 ) 进行顺序排列的一种关系 . ' 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 1 线性排序 线性排序是不增加数组的排序空间 ,不改变排序数组的性质而只交换或标记数组的排序 , 如选择排序 、冒泡法 和计数法 都是线性排序算法 . 111 选择排序 选择排序就 是选 择一 个元 素依 次和 后边 的元 素比 较 ,每一次得到 一个 较大 元素 . 基本思想是 对 n 个元素 ,先选 择第 1 个元 素和第 2 个元素进行 比较 ,如果第 1 个元素大于 第 2 个元素 ,则用第 1 个元素再和 第 3 个进行比较 ,否则 如果第 1 个元素小于 第2 个元素 ,则将第 1 个和第 2 个交换后 ,再用第 1 个元素和第 3 个比较 ;直到第 1 个和第 n 个元素比 较,如果第 1 个元素大 , 则它是最大 者 ,否则将第 1 个和第 n 个元素交换 ,第1 个元素仍是 最大 者 . 第2 次再用第 2 个元素依次和 后边的元素进行比较 , 方法同前 ,结果得到第 2 个最大元素 ,依此类推 ,最后一次得 n - 1 个元素和第 n 个元素比较 ,大者放到前边 . 算法第 1 次比较 n - 1 次,第2 次比较 n - 2 次,最后比较 1 次,整个算法的执行时间是 : ( n - 1) + ( n - 2) + ..+ 2 + 1 = n ( n - 1) / 2 ≈ n2/ 2 时间复杂度是 O( n2) 112 冒泡法 冒泡法是将 相邻 的两 个元 素进 行比 较 ,比较结果将 较大 的元 素放 在前 边 ,经过多次比 较使 最大 的元 素像 气泡一 样从下边 浮到 上 面 . 基本 思 想 是 首 先 将 第 1 个元 素 和 第 2 个元 素 进 行 比 较 ,如果 第 1 个元 素 值 大 ,再用 第 2 个元素 与第 3 个元素比较 ,否 则将第 1 个元素与第 2 个元素交换后 ,再用第 2 个元素与第 3 个元素比较 ,依此类推 ,元素值大者放前边 , 第一轮比较结束 ,将 最小的元素 值放 到第 n 个位置 ,即最后 . 第二轮再用 第 1 个元素依次 和后 边的 元素 比较 ,直到比较到 第 n - 1 个元素 ,即得到次 最小的元素 ,其值放在第 n - 1 个位置 . 最后一轮只需要做第 1 和第 2 个元素的比较 . 算法的执行时间要以用 下式表示为 Σ n- 1 i =1 ( n - i) = n ( n - 1) 2 ≈ n2 2 时间复杂度是 O( n2) 113 计数排序 基本思想是 对每 一个 元素 增加 一个 标记 以便 统计 有多 少个 元素 大于 该元 素 ,从而找到该 元素 的正 确位 置 . 方法 是用每 1 个元素和后 边的 元素 比较 ,如果后边的 记录 元素 值大 ,将该元素的 记数 标记 加 1 ,否则如果后 边的 元素 值小 ,将 该后边的元素 记数标记加 1 ,每一轮比较 结束 ,第1 个元素已经 准确 定位 ,其标记即为 在排 序的 位置 . 然后再用第 2 个元素 依次和后边的比 较,依次类推 ,直到最后第 n - 1 个元素和第 n 个元素比较 ,每个元素的记数标记就对应了该元素的排列位置 . 算法的执行时间 为 ( n - 1) + ( n - 2) + .+ 2 + 1 = n ( n - 1) / 2 ≈ n2/ 2 时间复杂度是 O( n2) 2 比较排序 我们考虑对 n 个不知道结构的元素 a1 , a2 ,., an 进行排序 ,算法可以用决策二叉树来进行描述 ,操作过程是每 一次对两 个元素进行比较 ,二叉树的每一个结点表示一个判定 ,如果判定成立 ,则走左子树 ,否则如果不成立 ,就走右子 树. 从比较排序 的道理我们很容易得到结论 ,在最坏情况下 ,分类 n 个元素的时间复杂度等于树的深度 h. 由二叉树的构造原理 ,一棵高为 h 的二叉树最多有 2 h 个叶 ,分类 n 个不同元素的任意判定树高至少是 log2 n !,所以判定 树至少有 n !个叶 ,故有下列不等式成立 . 2 h ≥ n ! 取对数有 , h ≥log2 n ! 由于 log2 n !描述不直观 ,所以往往将该式用更加直观的方式进行描述 ,可以用下面的推理 : n ! = n ×( n - 1) ..2 ×1 ≥ n ×( n - 1) ×.×([ n/ 2 ]) ≥ ([ n/ 2 ]) n/ 2 即log2 n ! ≥log2 ([ n/ 2 ]) n/ 2 = ( n/ 2) log2 ([ n/ 2 ]) = ( n/ 2) log2 n -( n/ 2) 如果 n ≥4 ,则log2 n ≥log24 = 2 ,于是 ( n/ 4) log2 n ≥ n/ 2 所以 log2 n ! ≥ ( n/ 2) log2 n -( n/ 2) ≥ ( n/ 2) log2 n -( n/ 4) log2 n = ( n/ 4) log2 n 第5 期 陈树平 ,等:排序算法时间复杂度的研究 75 . 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 即log2 n ! ≥ ( n/ 4) log2 n ,故在最坏情 况下 ,排序 n 个元素的时 间复 杂度 是 O(log2 n !),至少是 O(( n/ 4) log2 n) 次. Stirling 对n !更加精确的值是 ( n/ e) n ,即log2 n ! = nlog2 ( n/ e) ≈ nlog2 n - 1144 n. 当n 足够大时 , nlog2 n - 1144 n > ( n/ 4) log2 n ,所以更精确地讲 ,时间复杂度至少是 O( nlog2 n - 1144 n) . 3 堆排序 堆是 具有层次结构的数据结构,它用 二 叉 树 表 示 ,如果 树的每个结点都大于或等于其儿子结点时,就组 成 了一 个堆 . 很显 然,根结点标记 的值 最大 . 如果对 n 个结点进行 排序 ,首先将这 n 个结点建成 堆 ,若用 A 的下标变量 来表示 结点的标记 ,当1 ≤ i ≤ n 时,有A( i) = ai . 堆元 素应该满足这样的规律:当1 ≤ i ≤ n/ 2 时,即结 点 A(i) 的左 儿 子 是 A(2 3 i) ,右 儿子是 A(2 3 i + 1) ,且有 A( i) ≥ A(2 3 i) 和A( i) ≥ A(2 3 i + 1) ,根结点的标记是 A(1) ,最后一个结点的标记是 A( n) . 堆排 序 的 基 本 思 想 是 :如果 已 经 将 这 n 个排 序结点的元素建成堆,显然 最大的结点元素是根结点, 将根 标记 的标记和最 后一个叶结点的标记进行交换 ,并将根结点保存 . 交换后 ,再将剩余的 n - 1 个结点重新组成堆 ,组成原则是新 根结点和左右 两个儿子比较 ,如果比两个儿子都大 ,则自然成堆 ,否则与最大的儿子交换 ,交换后再与下边的左右儿子比较 , 直到组成堆 ,将 根结 点 和 第 n - 1 个结 点 交 换 ,再将 剩 余 的 n - 2 个结 点 重 新 组 成 堆 ,再交 换 ,依次 类 推 ..,最后 对 所 有 元 素排 序. 很明显 ,堆排序可以用两个过程来描述 ,建堆和交换 ,可以用下面的过程来进行形式描述 procedure buildheap for i = n to 1 step - 1 do heap (i ,n) endfor procedure heap (i ,j) if A(i) 不是叶结点并且 A(i) 的一个儿子大于 A(i) then 元素 A(k) 是A(i) 的最大儿子 ; 交换 A(i) 和A(k) ; heap (k ,j) endif 堆排序算法可以描述为 : begin buildheap for i = n to 2 step - 1 交换 A(1) 和A(i) heap (1 ,i - 1) endfor end 从以 上 算 法 不 难 看 出 buildheap 的执 行 时 间 是 线 性 时 间 ,若T( h) 表示 在 深 度 为 h 的结 点 上 执 行 heap 算法 的时间 , c 为交 换两变量值的时间 ,则有 T( h) ≤ T( h - 1) + c ≤ T( h - 2) + 2 c ≤ .. ≤ hc ,故时间复杂度是 O( h) . 由于 对每个结点都调用一次heap ( i , n) ,所用 调 用 buildheap 就等 于对所有结点按高度花费时间之和. 如果结 点总数是 n , 每次 调 用 heap (1 , i - 1) 需要 时 间 ≤log2 n ,调用 n 次heap 算法 需 要 O( nlog2 n) 时间 ,所以 算 法 的 时 间 复杂 度是 O( nlog2 n) . 4 快速分类 1962 年Hoare 提出了快速 分类 算法 ,它是目前为 止比 较次 数最 少 、速度最快 的一 种分 类方 法 . 基本思想是 : 首先取第一个 记录的值作 为控 制关 键字 ,并把该记录 放到 文件 中的 合适 位置 v ( i) , 使得该记录 的左 端标 记都 大于 v ( i) , 右 端标记都小于 v ( i) . 这时将文件分成了由记录 v (1) 、v (2) 、..、v ( i - 1) 和v ( i + 1) 、v ( i + 2) 、..、v ( n) 组成的两个子 文件 ,依此再将这 两个子文件继续分类 ,直到分类完成 . 假定 S 是一个输入队列 ,快速分类算法可以用递归的方式描述 : 76 商丘师范学院学报 2004 年 . 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. procedure quicksort (S) if S 只包含一个元素 返回 else Begin 从S 中选择一个元素 v 作为分类元素 ;使得 队列 s1 中的元素均大于 v ; 队列 s2 中的元素均等于 v ; 队列 s3 中的元素均小于 v ; quicksort (s1) quicksort (s3) end 依据算法的 设计 思想 ,第一次就将 n 个元素分为 大小 相同 的两 个子 队列 ,第一遍执行 后 ,比较次数为 n - 1 ,所 需时间为 O( n) 或者 cn ,依此进行分类 ,快速分类的时间复杂度为 O( nlog2 n) ,可以用下式计算 : T( n) ≤ cn + 2 T( n/ 2) ≤ cn + 2 ( cn/ 2 + T( n/ 4) ≤ .. ≤ cn. log2 n + T(1) = O( nlog2 n) 这种 算 法 和 二 叉 树 类 似 ,对n 个元 素组成的完全二叉树,深度 为 log2 n ,这是 一 种 理 想 的 情 况 . 但是 对 于 快速 分类算法 ,时 间复杂度的期望值很接近于该值 . 如果我们选择的某元素不是将队列分为两个大小相等的队列 ,而是将元素分为由 i - 1 和n - i 个元素组成的两 个队列 , 则期望时间复杂度可以表示为 T( n) ≤ cn + 1 n Σ n i =1 [T( i - 1) + T( n - i) ] 当n ≥2 时 当i 从1 执行到 n ,出现两个 T(0) 、T(1) 、..、T( n - 1) ,故上式可以改写为 T( n) ≤ cn + 2 n Σ n- 1 i =0 T( i) 当n ≥2 时 如果令 b = T(0) = T(1) ,当n ≥2 时,T( n) ≤ knloge n ,这里 K = 2 c + 2 b. 当n = 2 时,很明显有 T(2) ≤2 c + 2 b. 上式容易证明 :T( n) ≤knloge n ,即分类 n 个元素的平均时间复杂度是 O( knloge n) . 我们可以得出结论 ,快速 分类算法的 时间复杂度最低 . 5 结论 总结上述几 种排 序算 法 , 对于同一问 题线 性排 序的 时间 复杂 度是 O( n2) , 比较排序时 间复 杂度 是 O(log2 n) , 至少是 O( n/ 4log2 n) ,堆排序时间复杂度是 O( nlog2 n) ,快速排序时间复杂度和期望时间复杂度均是 O( knloge n) . 从 上我们可以看 出,如果选择算 法不 合适 ,可能会使运 行效 率出 现很 大差 别 . 对于排序问 题 , 随着排序元 素的 数目 增加 , 算法 的选用显得越来 越重要 ,从时间复杂 度我 们可 以得 出结 论 ,在快速排序 算法 时间 增长 几倍 的情 况下 , 使用线性排 序算 法可 能会 使运行时间延 长数 10 倍,甚至更长时间 ,因此我们在处理问题时一定要注重算法的研究 . 参考文献 : [1 ] 宋文 ,吴晟 ,杜亚军 . 算法设计与分析 [M]. 重庆 :重庆大学出版社 ,2001. [2 ] Michael Sipser (美),(张立昂 ,王捍贫 ,等译 ). 计算理论导引 [M]. 北京 :机械工业出版社 ,2000. [3 ] 王广芳 ,曹兰斌 ,黄孝慈 . 数据结构 [M]. 长沙 :湖南科学技术出版社 ,1983. [4 ] 王晓东 . 计算机算法设计与分析 [M]. 北京 :电子工业出版社 ,2001. 第5 期 陈树平 ,等:排序算法时间复杂度的研究 77 . 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 第25 卷第3 期 2006 年9 月 延安大学学报 (自然科学版 ) Journal of Yanan U niversity (N atural Science Edit ion) Vo l. 25 No. 3 Sep t 2006 数据结构中基于分治策略的排序算法探讨 X 马燕1, 2, 张成3, 许淳1, 2 (1. 延安大学 计算机学院 ; 2. 延安大学 软件研究与开发中心 ; 3. 延安大学 计算中心 ; 陕西 延安 716000) 摘要: 讨论了数据结构中基于分治策略的排序算法 : 合并排序和快速排序 , 给出了算法步骤 , 设计 了算法实现的一般模式 , 并介绍了它们的几种改进算法。 关键词 : 排序 ; 合并排序 ; 快速排序 ; 分治 ; 递归 中图分类号 : TP301 文献标识码 :A 文章编号 : 10042602X (2006) 0320015203 排序是计算机程序设计中的一种重要操作 , 也 是“数据结构 ”课程的重要内容。 它的功能是将一个 数据元素 (或记录 ) 的任意序列 , 重新排列成一个按 关键字有序的序列 , 其确切定义如下 : 输入 n 个记录 R 1, R 2, .,R n , 其相应的关键字分别为 K 1, K 2, ., K n , 确定 1, 2, ., n 的一种排列 i1, i2, ., in, 输出 R i1, R i2, .,R in , 使得 K i1 FK i2 F.FK in (或K i1 EK i2 E. EK in)。 排序算法的种类很多 , 我们主要讨论两种采用 分治策略的排序算法 : 合并排序和快速排序。 1 分治与递归 分治法是非常著名的通用算法设计技术 , 很多 有效的算法实际上是这个通用算法的特殊实现。 分 治法的基本思想是 : 将一个规模为 n 的问题分解为 k 个规模较小的子问题 , 这些子问题互相独立且与原 问题相同。递归地解这些子问题 , 然后将各子问题的 解合并得到原问题的解。 如果原问题可分割成 k 个子问题 , 且这些子问 题都可解 , 并可利用这些子问题的解求出原问题的 解, 那么这种分治法就是可行的。 由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模 式, 反复应用分治手段 , 可以使子问题与原问题类型 一致而其规模却不断缩小 , 最终使子问题缩小到很 容易求出其解。 这样 , 就自然导致递归算法的产生。 分治与递归像一对孪生兄弟 , 经常同时应用在 算法设计之中 , 并由此产生许多高效算法 [ 1 ]。 由分治法的基本思想 , 我们可设计它的一般算 法模式如下 [ 2 ]: D iv ide-and-Conquer (PB) { if (.PB.< = n0 ) jbzsf (PB); divide PB in to sm aller sub in stances PB1, PB2, ., PBk; fo r ( i= 1, i< = k, i+ + ) yi= D iv ide-and-Conquer (PB i) ; retu rnMerge ( y1, y1, ., yk );} 其中 ,.PB.表示问题 PB 的规模 , n0 为一阈值 , 表示当问题 PB 的规模不超过 n0 时, 问题已容易解 出, 不必再继续分解。 jbzsf (PB) 是该分治法中的基本子算法 , 用于直 接解小规模的问题 PB。因此 , 当PB 的规模不超过 n0 时, 直接用算法 jbzsf (PB) 求解。 M erge ( y1, y2, ., yk ) 是该分治法中的合并子 算法 , 用于将 PB 的子问题 PB1, PB2, ., PBk 的解 y1, y2, ., yk 合并为 PB 的解。 2 合并排序 合并排序是成功应用分治策略的一个完美例 X 收稿日期 : 2006 04 04 作者简介 : 马燕 (1962 ), 女, 陕西绥德县人 , 延安大学副教授。 子, 算法主要思想是 : ①划分 : 将待排序的 n 个元素 序列划分成两个规模为 n.2 的子序列 ; ②解决 : 用合 并排序递归地对每一子序列排序 ; ③合并 : 合并两个 有序序列 , 得到排序结果 [ 3 ]。 合并排序算法可递归地描述如下 [ 2 ]: Mergesort (A[0. . n- 1 ]) ..递归调用 m ergeso rt 来对数组 A[0. . n- 1 ]排 序 ..输入 : 两个有序数组 B[0. . p - 1 ]和C[0. . q- 1 ] ..输出 : 非降序排列的数组 A[0. . n- 1 ] if n > 1 copy A[0. . n.2 - 1 ] to B[0. . n.2 - 1 ] copy A[n. 2. . n- 1 ] to C[0. . n.2 - 1 ] Mergesort (B[0. . n.2 - 1 ]) Mergesort (C[0. . n.2 - 1 ]) Merge (B,C,A) 其中 M erge 实现对两个有序数组进行合并 , 具 体算法可描述如下 : Merge (B[ 0. . p- 1 ],C[ 0. . q- 1 ],A[ 0. . p+ q - 1 ]) ..将两个有序数组合并为一个有序数组 ..输入 : 两个有序数组 B[0. . p - 1 ]和C[0. . q- 1 ] ..输出 :A[ 0. . p + q- 1 ]中已经有序存放了 B 和C 中的元素 i←0; j←0; k←0 w h ile i< p and j< q do if B[ i]FC[ j ] A[k ]←B[ i]; i←i+ 1 else A[k ]←C[ j ]; j←j+ 1 k←k+ 1 if i= p copy C[ j. . q- 1 ] to A[k. . p+ q- 1 ] else copy B[ i. . p - 1 ] to A[k. . p+ q- 1 ] 算法 M erge 和copy 显然可在 O(n) 时间内完成 , 因此合并排序算法的运行时间 T(n) 应满足 T(n) = O(1) n F 1 2T (n.2 ) + O(n) n > 1 。解此递归方程 可知 T(n) = O(n log2n) , 由于排序问题的计算时间 下界为 8 (n log2n) , 故合并排序算法是渐近最优算 法。 3 快速排序 快速排序是基于分治策略的另一种重要排序算 法, 其基本思想是 : 对于输入的子数组 A[p. . r ], ① 分解 : 以A[q ]为基准元素将 A[p. . r ]划分成两个子 数组 A[p. . q- 1 ]和A[q+ 1. . r ](其中之一可能为 空), 满足 : 数组 A[p. . q- 1 ]中的每个元素值不超过 数组 A[q+ 1. . r ]中的每个元素 , 下标 q 在划分过程 中确定 ; ②解决 : 递归调用快速排序算法 , 对两个子 数组 A[p. . q- 1 ]和A[q+ 1. . r ]进行排序 ; ③组合 : 由于子数组中元素已被排序 , 无需组合排序 , 整个数 组有 A[p. . r ]有序。 基于这一思想 , 快速排序算法可递归地描述如 下: Quicksort (A[p. . r ]) ..用Q u ick so rt 对子数组排序 ..输入 : 数组 A[0. . n- 1 ]中的子数组 A[p. . r ], 由左右下标 p 和r 定义。 ..输出 : 非降序排列的子数组 A[p. . r ] if p< r s←Partition (A[p. . r ])..s is a sp lit po2 sit ion Quicksort (A[p. . q- 1 ]) Quicksort (A[q+ 1. . r ]) 算法 Part it ion 实现分区的过程 , 可描述如下 : Partition (A[p. . r ]) ..以第一个元素为中轴 , 对子数组进行分区 ..输入 : 数组 A[0. . n- 1 ]中的子数组 A[p. . r ], 由左右下标 p 和r 定义 ..输出 :A[p. . r ]的一个分区 , 分裂点的位置作 为函数的返回值 k←A[p ] i←p; j←r+ 1 repeat repeat i←i+ 1 un t ilA [ i]≥k repeat j←j- 1 un t ilA [ j ]≤k sw ap (A[ i],A [ j ]) un t il i≥j sw ap (A[ i],A [ j ]) sw ap (A[p ],A[ j ]) retu rn j 可以证明 , 快速排序算法在平均情况下的时间 复杂性也是 O(n log2n)。 4 小结 合并排序和快速排序是 “数据结构 ”排序算法中 16 延安大学学报 (自然科学版 ) 第25 卷 的经典算法 , 也是应用分治策略的典型例子。这两种 算法 , 还可以从多方面进行改进。 在合并排序算法 中, 从分治策略的机制入手 , 可以消除算法中的递归 过程 ; 将算法 m ergeso rt 作适当变形 , 得到自然合并 排序。因快速排序算法的性能取决于划分的对称性 , 所以通过修改算法 part it ion, 可以设计出采用随机 选择策略的快速排序算法。目前 , 算法的研究正方兴 未艾 , 对这两种算法 , 还可以作进一步的研究。 参考文献 : [1 ]王晓东 . 数据结构与算法设计 [M]. 北京 : 电子工业出版社 , 2002. 982103 [2 ]A nany L evit in. 算法设计与分析基础 [M]. 北京 : 清华大学出版社 , 2003. 1212132 [3 ]霍红卫 . 算法设计与分析 [M]. 西安 : 西安电子科技大学出版社 , 2005. 28233 〔责任编辑 贺小林〕 The Sorting Algor ithm of the Data Structure on the D iv ide-and-conquer Techn ique MA Yan1, 2, ZHANG Cheng3, XU Chun1, 2 (1. Co llege of Compu ter Science, Yan’an; 2. Sof tw are R&D Cen ter, Yan’an; 3. Compu ter Cen ter, Yan’an, Shaanx i 716000) Abstract: The so rt ing algo rithm on the basis of the divide2and2conquer techn igue are discu ssed, app roach of the algo rithm are given, generalmode of the algo rithm ’s realizat ion are designed, and som e imp roved algo2 rithm are in t roduced. Key words: so rt;m ergeso rt; qu ick so rt; divide2and2conquer; recu rsion (上接第 48 页) st ructu rally characterized by elem en tal analysis, IR spect rum , thermogravim et ric analysis, and single crystal X2ray diff ract ion. The resu lt s show that the comp lex ismonoclin ic, w ith space group C2.c , a = 1. 4883 (2) nm , b= 1. 3835 (2) nm , c= 0. 70283 (10) nm , A= 90°,B = 108. 545°, C= 90°;Z = 4, R = 0. 0231。 The crystal st ructu re of comp lex con sist s of a copper (II)、a su lfate ligand、two phen s and two coo rdinat ion w ater mo lecu les. the disto rted octahedral comp lex of copper (II) b ridged th rough b iden tate su lfate ligands fo rm s a dim en sional chain s along the a ax is of the cell. These two one2dim en sional chain s fo rm a novel doub le chain s st ructu re along the a ax is of the cell by P2Pstack ing in teract ion s and the C2H.O hydrogen betw een two chain s, fu rthmo re, These coo rdinat ion po lym er chain s are fu rther o rgan ized by two differen t In termo lecu lar hydrogen bonds (C2H.O and O 2H.O ) to affo rd a 3D sup ramo lecu lar st ructu re. Key words: copper (II) comp lex;DTSA;mo lecu le doub le chain s; crystal st ructu re 第3 期 马燕 , 等: 数据结构中基于分治策略的排序算法探讨 1 7

下载文档,方便阅读与编辑

文档的实际排版效果,会与网站的显示效果略有不同!!

需要 5 金币 [ 分享文档获得金币 ] 3 人已下载

下载文档

相关文档