困扰数学家90年的猜想，被计算机搜索30分钟解决了
数学家会代码，就连困扰人类 90 年的数学猜想也挡不住。
来自斯坦福、CMU 等高校的 4 名数学家，直接将一个数学难题转化成了对10 亿个结果进行“暴力搜索”。
△ 论文作者之一 CMU 助理教授 Marijn Heule
他们把这串代码输入40 台电脑组成的计算集群，30 分钟后，计算机给出了一个200GB大小的证明结果：
凯勒猜想在不超过 7 维的空间上都是正确的。
现在，任何人都可以去GitHub上克隆这串代码，验证这一数学定理。
比较反转的是，这段获得计算机学术会议IJCAR（国际自动推理联合会议）最佳论文奖的程序，上线 GitHub 半年，只揽获了一颗星。
那么，这 4 位数学家要证明的“凯勒猜想”到底是什么？为何非要用计算机来证明？计算机证明的结果可靠吗？
下面让我们一一道来。
什么是凯勒猜想
假如用一批完全相同的正方形瓷砖铺满地面，中间不留空隙。显然，瓷砖之间会共用一条边，如下图蓝线所示：
在 3 维空间中，如果要用立方体占满空间，是不是也和 2 维空间类似呢？
想象一下，如果像下图那样在空间中随便放入几个立方体，由此展开填满整个空间，那么唯一的办法就是让接上的立方体共用蓝色的面。
2 维、3 维皆如此，更高维度的空间会怎样？
1930 年，德国数学家凯勒猜测，如果用n维立方体填满无限空间，则立方体之间必然会出现“面对面”，对于任意维度都成立。
这便是凯勒猜想。
但数学猜想不能仅靠直觉，必须有严格的证明。90 年来，数学家一直不懈努力。
1940 年，数学家 Perron 证明了凯勒猜想在 1 到 6 维空间是正确的。
1992 年，另外两位数学家 Lagarias 和 Shor 证明，凯勒猜想在 10 维空间上是错误的。
（注：这位 Shor 就是那个提出用量子计算机求解质因数分解的Shor 算法的数学家。）
非常不幸，凯勒猜想竟然是错的！然而问题并没有到此结束。
还有 3 个维度没有解决呢！在 7 维、8 维、9 维三个维度空间中，凯勒猜想是否成立？
只要解决这三个维度，缠绕数学家几十年的问题就彻底搞定了。
数学论证表明，如果凯勒猜想在n维空间上是错的，那么它在比n更高的维度上也一定是错的。
2002 年，数学家 Mackey 已证明，凯勒猜想在 8 维空间不成立，因此在 9 维空间也不成立。
至此，7 维空间成为唯一的难题。
△ 证明 8 维空间凯勒猜想错误的 CMU 教授 Mackey
证明方法的改进
可能你已经发现，从上世纪 90 年代以来，凯勒猜想的证明速度大大加快，数学家只用了 10 年时间就把问题缩小到三个维度。
这主要得益于两位数学家的贡献。
当年，Perron 求解 1 到 6 维时，没有特殊的捷径。而到 1990 年，凯勒猜想的证明方法发生了巨大的变化。
数学家 Corrádi 和 Szabó提出了一种新的思路，把原来无限空间的问题变成有限的、离散的问题，也让计算机解决凯勒猜想成为可能。
他们巧妙地把凯勒猜想变成了图论问题，就是构造所谓的凯勒图（Keller Graph），而图论正是计算机所擅长的。
在这种方法的指导下，Lagarias 和 Shor 两人很快在 2 年后就证明了 10 维空间的情况：凯勒猜想不成立。又过了 10 年，Mackey 证明，凯勒猜想在 8 维空间不成立。
那么，凯勒图究竟是什么，它为什么能够加速凯勒猜想的证明？
构造“凯勒图”
首先，我们从最简单的 2 维情况说起。
现在，我们有一种牌，牌上画着两个有颜色的点。两个点是有顺序的，不能调换。比如，1 黑 2 白≠1 白 2 黑。
两个点总共可以涂 4 种颜色，颜色分成 2 对：红色对绿色、白色对黑色。
数学家已经证明，分配给点的颜色相当于正方形在空间中的坐标。两张牌的颜色是否配对表示两个正方形的相对位置。
点的颜色与正方形的具体关系是这样的：
1、两对点完全相同，表示两个正方形完全重叠
2、两对点颜色都不同，且颜色都不配对，表示两个正方形有部分重叠
3、一对点颜色相同，另一对点颜色配对，表示两个正方形共用一个边
4、一对点颜色不同，另一对点颜色配对，表示两个正方形的边相互接触但不重合
2 个点的凯勒图，要用 2 对颜色去填充牌面，总共有 16 种情况。
然后我们把这 16 张牌摆在桌上，只有符合前面条件4的两张牌，才用线将二者连起来。这样就构成了一张“凯勒图”。
包含 16 张牌的凯勒图就描绘了正方形填补平面的所有可能。
如果 2 维空间中凯勒猜想不成立，那么我们肯定能找到 4 个正方形，它们之间没有共用的边，但是能够无缝隙填在一起。然后在屏幕上无限复制这 4 个正方形，就能填满整个屏幕。
实际上并不可能。如果按此操作，只会得到有着无数孔隙（下图紫色部分）的填充方式。
对应到凯勒图中，就是找在图中找到 4 张牌，它们两两之间都有连线。（在数学里，这叫做完全图。）
显然，在 2 维问题的凯勒图中，我们找不到这样的 4 张牌。（可以自己去上面的凯勒图中找找看。）
这样，我们把就把n维立方体以及位移s与牌的点数n、颜色对数s联系起来。
作为更一般的规则，如果要证明n维凯勒猜想是错的，就要在对应的凯勒图中找到2n张牌，且这些牌两两相连。
正因为你找不到 4 个张牌组成的完全图，所以 2 维空间的凯勒猜想是对的。
为了在 3 维空间中证明凯勒猜想，可以使用 216 张牌，每张牌上 3 个点，并可以使用 3 对颜色（这一点相对灵活）。然后，我们需要寻找23=8 张牌 ，它们两两之间都有连线，但还是找不到。
到了 8 维空间中，我们总算可以找到符合条件的 256 张牌，所以 8 维空间的凯勒猜想是错的。
△8 维空间中的一个反例（一个凯勒图的完全子图）
接下来的事情就是在 7 维空间对应的凯勒图上寻找完全子图。然而这个问题却从 8 维问题解决后被搁置了 17 年。
根据前面的说明，求解 8 维空间和 10 维空间的凯勒猜想，要寻找28=256 和210=1024 张牌的子图，而 7 维空间只要寻找27=128 张牌的子图。
后者的难度似乎更小，7 维空间的问题应该更简单啊！其实不然。
因为，从某种意义上说，8 维和 10 维可以“分解”为容易计算的较低维度，但 7 维不行。
证明了 10 维情况的 Lagarias 说：“7 维不好，因为它是质数，这意味着你无法将其分解为低维。因此别无选择，只能处理这些图的全部组合。”
对于人脑来说，寻找大小为 128 的子图是一项艰巨的任务，但这恰恰是计算机擅长回答的问题。
计算机帮忙
说干就干，此前证明 8 维问题的 CMU 教授 Mackey 拉上了斯坦福的数学在读博士 Brakensiek 和专长计算机辅助证明的助理教授 Heule。
回忆起立项的那天，Mackey 说，Brakensiek 是真正的天才，看着他就像看着 NBA 总决赛里的詹姆斯。Brakensiek 本人确实很厉害，他曾是 2013/14 两届国际信息学奥赛金牌得主。
△ 论文第一作者 Brakensiek
言归正传。为了方便计算机求解，他们换了个方向来思考：
先设定牌上有 7 个点、6 种可能的颜色，按照前面的“条件4”对这些牌上色，看看能不能找到 128 种不同的填色方法。如果找不到，那么凯勒猜想成立。
用计算机辅助证明数学问题，还需要把它变成一系列逻辑运算，也就是处理 01 之间的与或非关系。
若要求解 7 维，则总共包含 39000 个不同布尔变量（0 或1），有239000种可能性，这是一个非常非常大的数字，有 11741 位数。
△2 的 39000 次方（来自 Wolfram Alpha 运算结果）
一台普通电脑只能处理 324 位数种可能，离解决问题还远得很。就算交给超级计算机也不够。
但是，这几位数学家想到了排除法，只要得到结论，而不必实际检查所有可能性。效率才是王道！
比如，用计算机规则给 128 张牌上色，当你涂到第 12 张牌的时候，发现找不到符合条件的下一张牌了。那么所有包含这 12 张牌的排列都可以排除。
提升效率的另一种方式是利用对称性。如果已经验证了某种排列不可能，那与之对称的所有情况都可以排除。
通过这两种方法，他们把搜索空间缩小到 10 亿（230）。这样一来，用计算机搜索变成了可能。
最终，他们仅计算了半个小时，便有了答案。
计算机没有找到符合条件的 128 张牌，所以 7 维空间的凯勒猜想确实成立。
实际上，计算机提供的不仅仅是一个答案，证明的内容多达200GB。4 位论文作者将证明送入计算机的证明检查器，确认了它的可靠性。
解决了凯勒猜想后，Heule 的下一个目标是用计算机证明数学里“最简单的不可能问题”——3n+1 猜想，去年陶哲轩已经“几乎”解决了这个问题，现在可能只差一步之遥了。
参考链接：
https://www.quantamagazine.org/computer-search-settles-90-year-old-math-problem-20200819/
https://www.cs.cmu.edu/~mheule/Keller/
https://mathworld.wolfram.com/KellerGraph.html
论文地址：
https://arxiv.org/abs/1910.03740
源代码：
https://github.com/marijnheule/Keller-encode
— 完 —