<p><span style="color:rgb(51,51,51)"><strong>堆排序</strong>与<strong><a href="http://www.open-open.com/lib/view/open1462846094002.html" style="color:rgb(51,102,153); text-decoration:none">快速排序</a></strong>，<strong>归并排序</strong>一样都是时间复杂度为O(N*logN)的几种常见排序方法。学习堆排序前，先讲解下什么是数据结构中的二叉堆。</span></p>    <p> </p>    <h2>二叉堆的定义</h2>    <p> </p>    <p><span style="color:rgb(51,51,51)">二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。</span></p>    <p> </p>    <p>二叉堆满足二个特性：</p>    <p>1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。</p>    <p>2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。</p>    <p>当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为<strong>最大堆</strong>。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为<strong>最小堆</strong>。下图展示一个最小堆：</p>    <p><img alt="" src="https://simg.open-open.com/show/552cb87a6a02dfa87962812be4f2f65e.jpg"></p>    <p>由于其它几种堆（二项式堆，斐波纳契堆等）用的较少，一般将二叉堆就简称为堆。</p>    <p> </p>    <h2>堆的存储</h2>    <p> </p>    <p>一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。</p>    <p><img alt="" src="https://simg.open-open.com/show/c6c747898cf688dbeccaa5d335d0b6b8.jpg"></p>    <h2>堆的操作——插入删除</h2>    <p><span style="color:rgb(51,51,51)">下面先给出《数据结构C++语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解，再给出本人的实现代码，最好是先看明白图后再去看代码。</span></p>    <p> </p>    <p><span style="color:rgb(51,51,51)"><img alt="" src="https://simg.open-open.com/show/e136e93b5a8d833e6f53ce945ff3d9ab.jpg"></span></p>    <p> </p>    <p> </p>    <h3>堆的插入</h3>    <p><span style="color:rgb(51,51,51)">每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于</span> <span style="color:rgb(51,51,51)">直接插入排序</span> <span style="color:rgb(51,51,51)">中将一个数据并入到有序区间中，</span> <span style="color:rgb(51,51,51)">代码：</span></p>    <pre>  <code class="language-java">/**    * 新加入i结点  其父结点为(i - 1) / 2      * 新插入的節點都是位於數組末尾，从该节点开始检查，类似“上浮”的过程    * @param a    * @param i    */   static void minHeapFixup (int[] a, int i) {    int j, temp;    temp = a[i];    j = (i - 1) / 2;//父节点    while (j > 0 && i != 0) {     if (a[j] <= temp) {      break;     }     a[i] = a[j]; //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点       i = j;     j = (i - 1) / 2;    }    a[i] = temp;   }</code></pre>    <p><br> 插入时：</p>    <p> </p>    <p> </p>    <pre>  <code class="language-java">//在最小堆中插入元素时   static void minHeapAddNumber(int[] a, int n, int value) {    a[n] = value;    minHeapFixup(a, n);   }</code></pre>    <p> </p>    <p> </p>    <p> </p>    <h3>堆的删除</h3>    <p><span style="color:rgb(51,51,51)">按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。下面给出代码：</span></p>    <p> </p>    <p> </p>    <pre>  <code class="language-java">// 从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 。i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2。删除的调整过程有点类似“下沉”过程   static void minHeapFixdown(int[] a, int i, int n) {    int temp = a[i];    int j = 2 * i + 1;//左儿子    while (j < n) {     if (j + 1 < n && a[j] > a[j + 1]) {//选出两个孩子中较小的孩子      j++;     }     if (a[j] >= temp) {      break;     }     a[i] = a[j]; //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点       i = j;     j = 2 * i + 1;    }    a[i] = temp;   }      /**    * 删除小顶堆，是删除第一个元素，用最后的元素填充到第一个元素。    * 其实，也就是第一个与最后一个元素交换，然后长度缩短一个就可以实现。    * 小顶堆采取这种方式排序出来，最后得到的是从大到小的逆序。因为每次都将最小的交换到最后。    * @param a    * @param first    * @param n    */   static void minHeapDeleteNumber(int a[], int n) {      int temp = a[0];    a[0] = a[n - 1];    a[n - 1] = temp;    minHeapFixdown(a, 0, n - 1);     }</code></pre>    <p> </p>    <h2>堆化数组</h2>    <p> </p>    <p>有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。要一个一个的从数组中取出数据来建立堆吧，不用！先看一个数组，如下图：</p>    <p><img alt="" src="https://simg.open-open.com/show/42002c6db6b5ed3ec1356e9edd80ee23.jpg"></p>    <p>很明显，对叶子结点来说，可以认为它已经是一个合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分别是一个合法的堆。只要从A[4]=50开始向下调整就可以了。然后再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分别作一次向下调整操作就可以了。下图展示了这些步骤：</p>    <p><img alt="" src="https://simg.open-open.com/show/e0bed17aa05f0823d8983f277d2bc769.jpg"></p>    <p>写出堆化数组的代码：</p>    <pre>  <code class="language-java">/**    * 数组元素来生成小顶堆，从第n/2 - 1个元素开始，因为叶子元素已是合法的堆了    * @param a    * @param n    */   static void makeMinHeap(int[] a, int n) {    for (int j = n / 2 - 1; j >= 0 ; j--) {     minHeapFixdown(a, j, n);    }   }</code></pre>    <p> </p>    <p>至此，堆的操作就全部完成了(注1)，再来看下如何用堆这种数据结构来进行排序。</p>    <p> </p>    <p> </p>    <h2>堆排序</h2>    <p> </p>    <p>首先可以看到堆建好之后堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。</p>    <p>由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将A[0]与A[n - 1]交换，再对A[0…n-2]重新恢复堆。第二次将A[0]与A[n – 2]交换，再对A[0…n - 3]重新恢复堆，重复这样的操作直到A[0]与A[1]交换。由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。有点类似于<strong><a href="/misc/goto?guid=4959672775595684162" style="color:rgb(51,102,153); text-decoration:none">直接选择排序</a></strong>。</p>    <p> </p>    <pre>  <code class="language-java">//堆排序，小顶堆，排序形成的是逆序的数组，过程就是交换第一个和最后一个元素，每次数组长度减少1   static void minheapSortToDescendArray(int[] a, int n) {    int temp;    for (int j = n - 1; j >= 0; j--) {     //交换     temp = a[0];     a[0] = a[j];     a[j] = temp;     //调整     minHeapFixdown(a, 0, j);    }   }</code></pre>    <p> </p>    <p> </p>    <p> </p>    <p>注意使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆。</p>    <p>由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN)，共N - 1次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时N / 2次向下调整，每次调整时间复杂度也为O(logN)。二次操作时间相加还是O(N * logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N * logN)。</p>    <p>完整的实现代码如下：</p>    <p> </p>    <pre>  <code class="language-java">package Algorithm.ylh.com;    import java.util.Arrays;    public class HeapSort {      public static void main(String[] args) {    int[] a = GenerateIntArray.getArray();    System.out.println(Arrays.toString(a));    makeMinHeap(a, a.length);//建堆    System.out.println(Arrays.toString(a));    minHeapDeleteNumber(a, a.length);//删除一个元素    System.out.println(Arrays.toString(a));    minHeapAddNumber(a, a.length - 1, 20);//添加一个元素    System.out.println(Arrays.toString(a));    minheapSortToDescendArray(a, a.length);//排序    System.out.println(Arrays.toString(a));   }         /**    * 新加入i结点  其父结点为(i - 1) / 2      * 新插入的節點都是位於數組末尾，从该节点开始检查，类似“上浮”的过程    * @param a    * @param i    */   static void minHeapFixup (int[] a, int i) {    int j, temp;    temp = a[i];    j = (i - 1) / 2;//父节点    while (j > 0 && i != 0) {     if (a[j] <= temp) {      break;     }     a[i] = a[j]; //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点       i = j;     j = (i - 1) / 2;    }    a[i] = temp;   }      //在最小堆中插入元素时   static void minHeapAddNumber(int[] a, int n, int value) {    a[n] = value;    minHeapFixup(a, n);   }      // 从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 。i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2。删除的调整过程有点类似“下沉”过程   static void minHeapFixdown(int[] a, int i, int n) {    int temp = a[i];    int j = 2 * i + 1;//左儿子    while (j < n) {     if (j + 1 < n && a[j] > a[j + 1]) {//选出两个孩子中较小的孩子      j++;     }     if (a[j] >= temp) {      break;     }     a[i] = a[j]; //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点       i = j;     j = 2 * i + 1;    }    a[i] = temp;   }      /**    * 删除小顶堆，是删除第一个元素，用最后的元素填充到第一个元素。    * 其实，也就是第一个与最后一个元素交换，然后长度缩短一个就可以实现。    * 小顶堆采取这种方式排序出来，最后得到的是从大到小的逆序。因为每次都将最小的交换到最后。    * @param a    * @param first    * @param n    */   static void minHeapDeleteNumber(int a[], int n) {      int temp = a[0];    a[0] = a[n - 1];    a[n - 1] = temp;    minHeapFixdown(a, 0, n - 1);     }       /**    * 数组元素来生成小顶堆，从第n/2 - 1个元素开始，因为叶子元素已是合法的堆了    * @param a    * @param n    */   static void makeMinHeap(int[] a, int n) {    for (int j = n / 2 - 1; j >= 0 ; j--) {     minHeapFixdown(a, j, n);    }   }      //堆排序，小顶堆，排序形成的是逆序的数组，过程就是交换第一个和最后一个元素，每次数组长度减少1   static void minheapSortToDescendArray(int[] a, int n) {    int temp;    for (int j = n - 1; j >= 0; j--) {     //交换     temp = a[0];     a[0] = a[j];     a[j] = temp;     //调整     minHeapFixdown(a, 0, j);    }   }  }</code></pre>    <p>来源： http://blog.csdn.net/rebirth_love/article/details/51347109http://blog.csdn.net/rebirth_love/article/details/51347109 </p>