1. 引言

k-means与kNN虽然都是以k打头，但却是两类算法——kNN为监督学习中的分类算法，而k-means则是非监督学习中的聚类算法；二者相同之处：均利用近邻信息来标注类别。

聚类是数据挖掘中一种非常重要的学习流派，指将未标注的样本数据中相似的分为同一类，所谓“物以类聚，人以群分”嘛。k-means是聚类算法中最为简单、高校的，核心思想：由用户指定k个初始质心（initial centroids)，以作为聚类的类别（cluster），重复迭代直至算法收敛。

2. 基本算法

在k-means算法中，用质心来表示cluster；且容易证明k-means算法收敛等同于所有质心不再发生变化。基本的k-means算法流程如下：

选取k个初始质心（作为初始cluster）；  repeat：      对每个样本点，计算得到距其最近的质心，将其类别标为该质心所对应的cluster；      重新计算k个cluser对应的质心；  until 质心不在发生变化

对于欧式空间的样本数据，以平方误差和（sum of the squared error, SSE)作为聚类的目标函数，同时也可以衡量不同聚类结果好坏的指标：

\[ SSE=\sum\limits_{i=1}^{k} \sum_{x\in C_{i}} dist(x, c_i) \]

表示样本点 \(x\) 到cluster \(C_i\) 的质心 \(c_i\) 距离平方和；最优的聚类结果应使得SSE达到最小值。

k-means存在缺点：

• k-means是局部最优的，容易受到初始质心的影响；比如在下图中，因选择初始质心不恰当而造成次优的聚类结果（SSE较大）：

  

• 同时，k值的选取也会直接影响聚类结果，最优聚类的k值应与样本数据本身的结构信息相吻合，而这种结构信息是很难去掌握，因此选取最优k值是非常困难的。

3. 优化

为了解决上述存在缺点，在基本k-means的基础上发展了二分（bisecting） k-means，其主要思想：一个大cluster进行分裂后可以得到两个小的cluster；为了得到k个cluster，可进行k-1次分裂。算法流程如下：

初始时只有一个cluster包含所有样本点；  repeat:      从待分裂的clusters中选择一个进行二元分裂，所选的cluster应使得SSE最小；  until 有k个cluster

从图中，我们容易观察到：二分k-means算法对初始质心的选择不太敏感，因为初始时只选择一个质心。

</div>