本篇将介绍：

在上篇文章，我们介绍了Standard Bloom Filter(SBF)和Counting Bloom Filter(CBF)。简单回顾下，我们大概思路和历程是：为了解决允许false positive下的membership问题，我们设计了哈希表算法，由于它所需空间巨大，我们引入bitmap方法；因为它false positive possibility太大，我们引入了SBF，它使用多个独立的、均匀分布的哈希函数。而SBF的一个缺点是不支持删除操作，为了能够删除，我们引入了CBF，然而，CBF存在一个问题。

什么问题呢？那就是空间利用率不高。这可以通过简单的数学计算知道大概：

考察某个位置，该位置的计数器counter的值$\xi$

$P(\xi = c) \approx \binom{mk}{c} {(\frac{1}{n})}^{c}({1-\frac{1}{n}})^{mk-c} = B(km,\frac{1}{n})$

若二项分布B(n,p)里n很大，p很小时，二项分布的极限近似分布是泊松分布$P(\lambda=k) = \frac{\lambda^k}{k!}{e}^{-\lambda}$，其中$\lambda=np=\frac{km}{n}$，并结合$k = \frac{n}{m}ln2$，可以得到，counter的期望值为：

$E(\xi) = \lambda = np = ln2 \approx 0.7$

即大量的counter的值都是0，空间效率不高。

在介绍新的Bloom Filter之前，我们一起先看看什么是所谓的d-left hashing。

d-left hashing

在d-left hashing中，我们有d张哈希子表（序号分别为1,2,…d，并且假设是从左到右），每张子表都包含B个bucket，每个bucket都包含w个cell，每个cell可以存放一个元素。

为了插入一个元素x，我们：

1，首先通过一个哈希函数hf，得到x的哈希函数值value = hf(x)

2，通过value，得到d个位置（每个位置对应每张子表），表示为：

(1,$B_1$) , (2,$B_2$),… (d,$B_d$)

其中(i,$B_i$)表示第i张子表，Bucket的index为$B_i$。

那么，到底插入哪张表呢？d-left hashing选择$B_i$中负载最小（已经存放的元素最少）的位置。注意，这里说的是bucket的负载，不是子表的负载。如果有多个子表对应的位置负载都是最小，那么选择最左边（序号最小）的子表插入。

为了查找该元素，我们需要检查d个位置，wd个cell（元素）。

d-left counting bloom filter

在基于d-left hashing的CBF中，我们有d张哈希子表（序号分别为1,2,…d，并且假设是从左到右），每张子表都包含B个bucket，每个bucket都包含w个cell，每个cell可以存放一个counter和一个fingerprint。

为了插入一个元素x，我们：

1，首先通过一个哈希函数hf，得到x的哈希函数值value = hf(x)

2，通过value，得到d个位置（每个位置对应每张子表）和对应的fingerprint，表示为d个位置向量：

(1,$B_1$,$fp_1$) , (2,$B_2$,$fp_2$),… (d,$B_d$,$fp_d$)

其中位置向量(i,$B_i$,$fp_i$)表示第i张子表，Bucket的index为$B_i$，fingerprint为$fp_i$。

3，通过d-left hashing将x插入，如果插入的位置(i,$B_i$,$fp_i$)上已经有cell的fingerprint等于$fp_i$，那么只需要将它的counter++即可。

举个栗子，假设某时刻，我们有：

2张子表（d=2），每张子表有6个bucket（B=6），每个bucket包括3个cell（w=3），每个cell可以存放一个counter(4位表示，最大值为16)和fingerprint（6位表示）。

假如我们要插入元素x，我们对它进行hash，得到两个位置向量：

(1, 1, 010100)和(2, 2, 010101)

$d_1$子表中index为1的bucket的负载，要小于$d_2$子表中index为2的bucket的负载，因此，我们选择插入$d_1$中，如下：

如果得到的位置向量分别是(1, 1, 001100)和(2, 2, 010101)呢？那么，还是插入到$d_1$中index为1的bucket中，但是只需要将第二个cell里的counter++即可，如下图：

看起来很完美，但是这种方案在删除时会有问题。比如说，还是刚才的例子，我们欲插入x和y。分别得到x和y的位置向量们：

x: (1, 1, 010100)和(2, 2, 010101)

y: (1, 1, 010100)和(2, 4, 111111)

根据d-left hashing，x被插入到$d_1$中index为1的bucket中；y被插入到$d_2$中index为4的bucket中。好，这没问题。如果现在要删除y呢？我们需要检查两个位置，$d_1$中的index为1的bucket，以及$d_2$中index为4的bucket，要删哪个？fp都是010100啊。这就出现问题。

什么时候会出现这种问题？当以下条件满足时：

1，两个元素的有公共【重合】的位置向量。位置向量相同，表示同一个子表，同一个bucket，以及相同的fingerprint。

2，其中一个元素被插入了公共位置向量对应的位置，另外一个元素没有。

3，欲删除未使用公共位置向量的元素（比如说上例中的y）

为了解决这个问题，作者做了两点改进：

I 引入d轮随机置换。

置换，即一一映射。假设置换为P，输入为a和b，那么将满足：

如果a = b，那么P(a) = P(b)

如果a != b ，那么P(a) != P(b)

以及它们的逆否命题

如果P(a) ！= P(b)，那么a ！= b

如果P(a) = P(b)，那么a = b

为了插入x，我们首先通过一个哈希函数hf，计算它的哈希函数值value = hf(x)。然后，我们对value进行d轮随机置换，得到d个位置向量：

$P_1(value) = (1, B_1, fp_1)$

$P_2(value) = (2, B_2, fp_2)$

……

$P_d(value) = (d, B_d, fp_d)$

这里面有一个小问题：如果要插入的元素x和y不等，那么它们的置换可能相等吗？当然可能。因为x和y虽然不等，但是它们的hash value可能相等，这样它们的置换结果即位置向量可能相同。

别忘了，我们是对x和y的hash value进行置换，不是对x和y进行置换。

网上流传很广的 这篇 文章的解释是错误的，小心！！！

II 插入修正

当得到d个位置向量后，和上面介绍的过程稍微不同：我们首先需要根据d个位置向量，从第1个子表开始，对每个子表$d_i$，去对应的位置$B_i$处查找是否有cell中的fp等于$fp_i$，如果有，我们把相应的counter++，插入动作完成，不用再继续检查后续子表了。

否则，当所有d个子表都没有对应的$fp_i$时，我们运用d-left hashing，插入x。

综合运用这两点，我们知道上面所说的删除时的问题已经不存在了。

假如欲插入x和y，分别对它们的hash value进行d轮（这里d=2）随机置换后，有没有可能得到如下的位置向量？

x: (1, 1, 010100)和(2, 2, 010101)

y: (1, 1, 010100)和(2, 4, 010111)

不可能。

注意到，x和y的第一个位置向量（对应第一张子表）完全相同（bucket index相同，fp也相同），也就是

$P_1(hf(x)) = P_1(hf(y))$

那么可以推出hf(x) = hf(y)，也就是x和y的哈希函数值相等，那么对于任何的i都有$P_i(hf(x)) = P_i(hf(y))$。

因此：

如果hf(x) = hf(y)，那么$P_i(hf(x)) \eq P_i(hf(y))$ (i=1,2,3…d)，假如先插入x后插入y。插入y的时候，会更新counter。后续删除x或者y都不存在上述问题。

如果hf(x) != hf(y)，那么那么$P_i(hf(x)) \neq P_i(hf(y))$ (i=1,2,3…d)，那么x和y没有公共的位置向量。后续删除x或者y都不存在上述问题。

附录

如何随机置换

作者提供了一个简单的函数：

$P_i(value) = (a * value ) mod 2^B$

其中value的范围是[0, $2^B$]，a是随机的一个奇数。

数学分析

首先，如果z是false positive，那么它的哈希函数值会和集合S中的某个元素的哈希函数值相等。也就是

hf(z) = hf(e) 其中 $e\in S$

这是因为，如果z是false positive，那么

$p_i(hf(z)) = p_i(hf(e))$

根据置换的性质，可得hf(z) = hf(e)

因此，false positive possibility为

$P = 1 - (1 - \frac{1}{B}*\frac{1}{2^r})^m$

根据伯努利公式，当x很小时，$(1+x)^a \approx 1 + ax$，所以

$P \approx 1 - (1 - m * \frac{1}{B} * \frac{1}{2^r}) \approx \frac{m}{B*2^r}$

那么d-left CBF的false positive和空间利用情况如何？我们下面简单分析一下：

比较嘛，肯定是相同的空间利用，比较谁的false positive possibility小；相同的false positive possibility下，谁所需空间少。

在CBF中，假设counter需要c位（上次我们分析过，c取4足矣），那么所需的空间是cn。结合$k = \frac{n}{m}ln2$，false positive possibility大约为$(0.6185)^{\frac{n}{m}}$。

在d-left CBF中，我们选择d=4，B=$\frac{m}{24}$，w=8（平均负载为6，这样$4 * \frac{m}{24} * 6 = m$），counter占用2位，fingerprint占用r位。那么它的空间占用为

$4 * \frac{m}{24} * 8 * (2+r) = \frac{4m(r+2)}{3}$

而false positive possibility的大概为 $\frac{m}{B*2^r} = 24 * \frac{1}{2^r}$ (别忘了，B=$\frac{m}{24}$ )

通过计算不难发现，当空间占用相等时，d-left CBF的false positive possibility是CBF的百分之一；当false positive possibility相等时，d-left CBF所需空间是CBF的一半。

感谢

特别感谢 汪立 大神参与讨论。

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