异常检测(Anomaly Detection)

基本假设：多数情况下数据点落入正常的取值范围，但是当异常行为发生时，数据点的取值落入正常取值范围之外（如图1所示）。所以可以利用高斯分布，计算行为发生的概率，如果是概率小于给定阈值，则认为发生了异常行为。基本过程是利用训练数据点建立模型$p(x)$，对于新的数据点$x_{new}$, 如果$p(x_{new})<\epsilon$则发生异常；否则正常。异常检测的应用包括：

• 欺诈检测(Fraud detection)
• 制造业(Manufacturing)
• 数据中心监视电脑(Monitering computers in data center)

图1 异常行为（Outlier Point）发生示例

高斯分布

对于一元高斯分布$x \sim N(\mu, \sigma^2)$，表达式如下，其中$\mu$表示均值，对应于分布的对称轴；$\sigma$表示数据点的离散程度，$\sigma$越大函数图像的下端张口越大峰值越低；反之$\sigma$越小，图像下端张口越小，峰值越高，如图2所示。

$$p(x;\mu, \sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})$$

图2 不同参数($\mu, \sigma$)取值下的一元高斯分布

参数估计

高斯分布的总体参数$\mu$和$\sigma$可以使用样本数据点进行估计，如下

异常检测算法

对于训练数据集$\{x^{(1)}, x^{(2)}, \ldots, x^{(m)}\}$，其中数据点$x^{(i)}\in R^n$并假设每个特征均服从高斯分布，即$x^{(i)}_j \sim N(\mu, \sigma^2)$，可如下建立模型$p(x)$

\begin{align*}p(x)&=p(x_1; \mu_1, \sigma_1^2)p(x_2; \mu_2, \sigma_2^2)\ldots p(x_n; \mu_n, \sigma_n^2) \\ &= \prod\limits_{j=1}^n p(x_j; \mu_j, \sigma_j^2)\end{align*}

算法步骤：

1. 特征选择：选择能够指示异常行为的特征

2. 参数估计：用训练数据集估计每个特征的整体均值$\mu_j$和方差$\sigma_j^2$，即$\mu_j = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}_j$, $\sigma^2_j=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}(x^{(i)}_j-\mu_j)^2$

3. 用估计得到的参数$\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_n$,  $\sigma^2_1, \sigma^2_2, \ldots, \sigma^2_n$建立模型$p(x)$；

4. 对于给定新的数据点$x_{new}$, 计算$p(x_{new})$；如果$p(x_{new})<\epsilon$则发生异常，否则正常。

算法评估:

给定训练数据集(去掉标签建立模型)中$\{x^{(1)}, x^{(2)}, \ldots, x^{(m)}\}$，训练模型$p(x)$。在交叉验证集(带标签)中，如果$p(x_{cv})<\epsilon$，则预测$y=1$；否则预测$y=0$。最后计算指标Precison/Recall/F1Score等来评估算法性能。注意：也可以用验证集来选择阈值$\epsilon$.

异常检测与监督式学习对比：

特征选择：

选择的特征需要近似服从于高斯分布，如果明显不服从高斯分布，可以做适当的转换，例如$log(x), log(x+c), \sqrt{x}, x^{1/3}$等

多元高斯分布

之前的模型假设各个特征之间是相互独立的，因此模型$p(x)$将个特征取值的概率相乘【$P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)$，当且仅当事件AB相互独立时才有$P(AB)=P(A)P(B)$】；然而当各个特征之间存在依赖关系时，一元的高斯模型将不能很好的刻画$p(x)$，需要多元高斯模型。模型$p(x)$的建立不再是各个概率相乘，而直接用多元高斯分布进行刻画$$p(x;\mu, \Sigma)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\Sigma|^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\right)$$ 其中$\mu$是$n$维行向量，$\mu=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}$； $\Sigma$是$n\times n$协方差矩阵，$\Sigma=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}(x^{(i)}-\mu)(x^{(i)}-\mu)^T$，图3给出了在不同参数取值下的二维高斯模型及其对应的等高线图。

图3 二维高斯分布及其对应的等高线图

多元高斯模型和一元高斯模型的关系：当协方差矩阵$\Sigma$是对角阵且对角线元为一元高斯分布的估计参数$\sigma_j^2$时，两个模型是等价的。区别在于前者能够自动获取特征之间的依赖关系而后者不能(后者假设特征之间是独立的)。当特征数$n$很大时，前者计算代价高昂而后者计算速度快。前者适用于$m>n$(一般要求$m>10n$)的情况，而后者当$m$很小时依然适用。

推荐系统

电影推荐系统问题：根据用户对已看过电影的打分，对用户未看过的电影(下表中以?表示)进行打分估计，以给其推荐合适的电影。

符号说明：

• $n_u$表示用户数量
• $n_m$表示电影数量
• $r(i, j)$是符号变量，如果用户$j$已经对电影$i$进行评分则$r(i, j)=1$；反之，如果用户$j$尚未对电影$i$进行评分则$r(i, j)=0$.
• $y^{(i, j)}$表示用户$j$对电影$i$的评分（如果用户$j$对电影$i$已经评分，即$r(i, j)=1$）.

Movie	User1	User2	User3	User4	x1	x2
movie1	5	5	0	0	0.9	0
movie2	5	?	?	0	1.0	0.01
movie3	?	4	0	?	0.99	0
movie4	0	0	5	4	0.1	1.0
movie5	0	0	5	?	0	0.9

基于内容的推荐

对每一部电影$i$抽出若干特征，然后每个用户$j$学习一个参数向量$\theta^{(j)}$，然后用$(\theta^{(j)})^Tx^{(i)}$来估计用户$j$对电影$i$的评分。例如对于上面的表格，我们对每一个电影抽取出2个特征$x_1,x_2$(对应表格最后2列)，然后每个用户$j$学习一个参数向量$\theta^{(j)}\in R^3$（包含bias项$\theta_0=1$以及$x_1, x_2$的系数$\theta_1, \theta_2$）,然后就可以用$(\theta^{(j)})^Tx^{(i)}$来预测评分。为了学习参数$\theta$，定义代价函数为$$J(\theta^{(1)},\theta^{(2)},\ldots,\theta^{(n_u)})=\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^{n_u}\sum\limits_{i:r(i,j)=1}((\theta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2+\frac{\lambda}{2}\sum\limits_{j=1}^{n_u}\sum\limits_{k=1}^n(\theta^{(j)}_k)^2$$

梯度下降法的参数更新：$$\theta_k^{(j)}=\theta_k^{(j)}-\alpha\left(\sum\limits_{i:r(i,j)=1}((\theta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})x_k^{(i)}+\lambda\theta_k^{(j)}\right)\quad k > 0$$ $$\theta_k^{(j)}=\theta_k^{(j)}-\alpha\sum\limits_{i:r(i,j)=1}((\theta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})x_k^{(i)}\quad k = 0$$

协同过滤(Collaborative Filtering)

基于内容的推荐假设电影的特征(如$x_1$, $x_2$)是已知的，仅需要学习参数$\theta$；然而实际中电影的特征是未知的，现在假定已知用户的参数$\theta$，需要学习电影的特征$x$，与上面的代价函数类似，定义$$J(x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(n_m)})=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n_m}\sum\limits_{i:r(i,j)=1}((\theta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2+\frac{\lambda}{2}\sum\limits_{i=1}^{n_m}\sum\limits_{k=1}^n(x^{(i)}_k)^2$$这样我们发现，给定电影特征$x$可以学习到用户参数$\theta$；反之给定用户参数$\theta$可以学习到特征$x$。因此可以先随机猜一个$\theta$，然后学习$x$，再由学习到的$x$学习$\theta$，然后不断重复即可。然而事实上，两个参数$x, \theta$可以如下同时更新，从而得到协同过滤的推荐算法$$J(x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(n_m)},\theta^{(1)},\theta^{(2)},\ldots,\theta^{(n_u)})=\frac{1}{2}\sum\limits_{i:r(i,j)=1}((\theta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2+\frac{\lambda}{2}\sum\limits_{j=1}^{n_u}\sum\limits_{k=1}^n(\theta^{(j)}_k)^2+\frac{\lambda}{2}\sum\limits_{i=1}^{n_m}\sum\limits_{k=1}^n(x^{(i)}_k)^2$$

协同过滤算法步骤:

1. 初始化参数$x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(n_m)},\theta^{(1)},\theta^{(2)},\ldots,\theta^{(n_u)}$为随机数，其中$x\in R^n$表示电影特征，$\theta \in R^n$表示用户参数（注：不包含bias参数$\theta_0$）

2. 使用梯度下降或者其他高级优化算法，进行参数更新

$$x_k^{(i)}=x_k^{(i)}-\alpha\left(\sum\limits_{i:r(i,j)=1}((\theta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})x_k^{(i)}+\lambda x_k^{(i)}\right)$$$$\theta_k^{(j)}=\theta_k^{(j)}-\alpha\left(\sum\limits_{i:r(i,j)=1}((\theta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})x_k^{(i)}+\lambda\theta_k^{(j)}\right)$$

3. 用学习到的参数$\theta$和$x$预测电影评分$\theta^Tx$

低秩矩阵分解(Low rank matrix factorization)

协同过滤与低秩矩阵分解：协同过滤算法要求评分矩阵$Y$中元素$y^{(i,j)}$越接近$(\theta^{(j)})^T x^{(i)}$越好，因此参数$\theta$和$x$的求解，实际上等价于寻找两个矩阵$X$和$\Theta$使得$Y \approx X\Theta^T$，从而协同过滤问题可以转化为低秩矩阵分解问题。

均值归一化：对于尚未评分任何电影的用户，可以对$Y$矩阵按行求平均值作为该用户的初始评分；用均值化矩阵$Y-\mu$进行参数学习，然后用$(\theta^{(j)})^T\theta^{(i)}+\mu_i$进行评分预测。

参考文献

[1] Andrew Ng Coursera 公开课第九周

[2] Recommender Systems: Collaborative Filtering. http://recommender-systems.org/collaborative-filtering/

[3] Wikipedia: Low-rank approximation https://en.wikipedia.org/wiki/Low-rank_approximation

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