南大周志华老师在2010年提出一个异常检测算法Isolation Forest，在工业界很实用，算法效果好，时间效率高，能有效处理高维数据和海量数据，这里对这个算法进行简要总结。

iTree

提到森林，自然少不了树，毕竟森林都是由树构成的，看Isolation Forest（简称iForest）前，我们先来看看Isolation Tree（简称iTree）是怎么构成的，iTree是一种随机二叉树，每个节点要么有两个女儿，要么就是叶子节点，一个孩子都没有。给定一堆数据集D， 这里D的所有属性都是连续型的变量，iTree的构成过程如下：

• 随机选择一个属性Attr；
• 随机选择该属性的一个值Value；
• 根据Attr对每条记录进行分类，把Attr小于Value的记录放在左女儿，把大于等于Value的记录放在右孩子；
• 然后递归的构造左女儿和右女儿，直到满足以下条件：
• 传入的数据集只有一条记录或者多条一样的记录；
• 树的高度达到了限定高度；

iTree构建好了后，就可以对数据进行预测啦，预测的过程就是把测试记录在iTree上走一下，看测试记录落在哪个叶子节点。iTree能有效 检测异常的假设是：异常点一般都是非常稀有的，在iTree中会很快被划分到叶子节点，因此可以用叶子节点到根节点的路径h(x)长度来判断一条记录x是 否是异常点；对于一个包含n条记录的数据集，其构造的树的高度最小值为log(n)，最大值为n-1，论文提到说用log(n)和n-1归一化不能保证有 界和不方便比较，用一个稍微复杂一点的归一化公式：$$s(x,n) = 2^{(-\frac{h(x)}{c(n)})}$$,$$ c(n) = 2H(n − 1) − (2(n − 1)/n), 其中 H(k) = ln(k) + \xi，\xi为欧拉常数$$

$s(x,n)$就是记录x在由n个样本的训练数据构成的iTree的异常指数，$s(x,n)$取值范围为[0,1]，越接近1表示是异常点的 可能性高，越接近0表示是正常点的可能性比较高，如果大部分的训练样本的s(x,n)都接近于0.5，说明整个数据集都没有明显的异常值。

随机选属性，随机选属性值，一棵树这么随便搞肯定是不靠谱，但是把多棵树结合起来就变强大了；

iForest

iTree搞明白了，我们现在来看看iForest是怎么构造的，给定一个包含n条记录的数据集D，如何构造一个iForest。iForest 和Random Forest的方法有些类似，都是随机采样一一部分数据集去构造每一棵树，保证不同树之间的差异性，不过iForest与RF不同，采样的数据 量$Psi$不需要等于n，可以远远小于n，论文中提到采样大小超过256效果就提升不大了，明确越大还会造成计算时间的上的浪费，为什么不像其他算法一 样，数据越多效果越好呢，可以看看下面这两个个图，

左边是元素数据，右边是采样了数据，蓝色是正常样本，红色是异常样本。可以看到，在采样之前，正常样本和异常样本出现重叠，因此很难分开，但我们采样之和，异常样本和正常样本可以明显的分开。

除了限制采样大小以外，还要给每棵iTree设置最大高度$l=ceiling(log_2^\Psi)$，这是因为异常数据记录都比较少，其路 径长度也比较低，而我们也只需要把正常记录和异常记录区分开来，因此只需要关心低于平均高度的部分就好，这样算法效率更高，不过这样调整了后，后面可以看 到计算$h(x)$需要一点点改进，先看iForest的伪代码：

IForest构造好后，对测试进行预测时，需要进行综合每棵树的结果，于是$$s(x,n) = 2^{(-\frac{E(h(x))}{c(n)})}$$

$E(h(x))$表示记录x在每棵树的高度均值，另外h(x)计算需要改进，在生成叶节点时，算法记录了叶节点包含的记录数量，这时候要用这个数量$Size$估计一下平均高度，h(x)的计算方法如下：

处理高维数据

在处理高维数据时，可以对算法进行改进，采样之后并不是把所有的属性都用上，而是用峰度系数Kurtosis挑选一些有价值的属性，再进行iTree的构造，这跟随机森林就更像了，随机选记录，再随机选属性。

只使用正常样本

这个算法本质上是一个无监督学习，不需要数据的类标，有时候异常数据太少了，少到我们只舍得拿这几个异常样本进行测试，不能进行训练，论文提到只用正常样本构建IForest也是可行的，效果有降低，但也还不错，并可以通过适当调整采样大小来提高效果。