C语言数据结构之二叉树排序
一、定义与性质
定义
二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉查找(搜索)树(Binary Search Tree)。其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质的二叉树：
①若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
②若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
③左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
上述性质简称二叉排序树性质(BST性质)，故二叉排序树实际上是满足BST性质的二叉树。
性质
（1） 二叉排序树中任一结点x，其左(右)子树中任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键字。
（2） 二叉排序树中，各结点关键字是惟一的。
注意：
实际应用中，不能保证被查找的数据集中各元素的关键字互不相同，所以可将二叉排序树定义中BST性质(1)里的"小于"改为"大于等于"，或将BST性质(2)里的"大于"改为"小于等于"，甚至可同时修改这两个性质。
（3） 按中序遍历该树所得到的中序序列是一个递增有序序列。
二、插入与删除
插入与删除操作是二叉排序树中最常用也是最重要的两个操作。
插入过程是：
(a)若二叉排序树T为空，则为待插入的关键字key申请一个新结点，并令其为根；
(b)若二叉排序树T不为空，则将key和根的关键字比较：
(i)若二者相等，则说明树中已有此关键字key，无须插入。
(ii)若key<T→key，则将key插入根的左子树中。
(iii)若key>T→key，则将它插入根的右子树中。
子树中的插入过程与上述的树中插入过程相同。如此进行下去，直到将key作为一个新的叶结点的关键字插入到二叉排序树中，或者直到发现树中已有此关键字为止。
删除过程：
(1) 进行查找
查找时，令p指向当前访问到的结点，parent指向其双亲(其初值为NULL)。若树中找不到被删结点则返回，否则被删结点是p。
(2) 删去p。
删p时，应将p的子树(若有)仍连接在树上且保持BST性质不变。按p的孩子数目分三种情况进行处理。
删除p结点的三种情况
a.p是叶子(即它的孩子数为0)
无须连接p的子树，只需将p的双亲parent中指向p的指针域置空即可。
b.p只有一个孩子child
只需将child和p的双亲直接连接后，即可删去p。
注意：p既可能是parent的左孩子也可能是其右孩子，而child可能是p的左孩子或右孩子，故共有4种状态。
c.p有两个孩子
先令q=p，将被删结点的地址保存在q中；然后找q的中序后继p，并在查找过程中仍用parent记住p的双亲位置。q的中序后继p一定 是q的右子树中最左下的结点，它无左子树。因此，可以将删去q的操作转换为删去的p的操作，即在释放结点p之前将其数据复制到q中，就相当于删 去了q。
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #define maxSize 20 #define maxWidth 20 typedef int KeyType; //假定关键字类型为整数 typedef struct node { //结点类型 KeyType key; //关键字项 struct node *lchild,*rchild;//左右孩子指针 } BSTNode,BSTree; //typedef BSTNode *BSTree; //BSTree是二叉排序树的类型 //先序遍历 void preOrder(BSTree *BT) { if(BT!= NULL) { printf("%d",BT->key); preOrder(BT->lchild); preOrder(BT->rchild); } } //中序遍历 void inOrder(BSTree *BT) { if(BT!= NULL) { inOrder(BT->lchild); printf("%d",BT->key); inOrder(BT->rchild); } } //后序遍历 void postOrder(BSTree *BT) { if(BT!= NULL) { postOrder(BT->lchild); postOrder(BT->rchild); printf("%d",BT->key); } } //层次法打印树 void dispTree(BSTree *BT) { BSTree *stack[maxSize],*p; int level[maxSize][2],top,n,i,width=4; if(BT!=NULL) { printf("Display a tree by hollow means.\n"); top=1; stack[top]=BT;//push root point to stack. level[top][0]=width; while(top>0) { p=stack[top]; n=level[top][0]; for(i=1;i<=n;i++) printf(" "); printf("%d",p->key); for(i=n+1;i<maxWidth;i+=2) printf("--"); printf("\n"); top--; if(p->rchild!=NULL) { top++; stack[top]=p->rchild; level[top][0]=n+width; level[top][1]=2; } if(p->lchild!=NULL) { top++; stack[top]=p->lchild; level[top][0]=n+width; level[top][1]=1; } } } } /* 向二叉排序树中加入一个结点 要改变指针,需要传递指针的指针*/ int InsertNode(BSTree **tree, KeyType key) { BSTNode *p= NULL, *parent = NULL; BSTNode *pNewNode = (BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode)); if (pNewNode==NULL) { return -1; } /* 新建结点赋值,特别是左右子结点指针要赋值为NULL */ pNewNode->key = key; pNewNode->lchild = NULL; pNewNode->rchild = NULL; /* 二叉排序树是空树 */ if (*tree==NULL) { *tree = pNewNode; return 0; } else { p = *tree; /* 寻找插入位置 */ while (NULL != p) { /* key值已在二叉排序树中 */ if (p->key == key) { return 0; } else { parent = p; p = (p->key < key) ? p->rchild : p->lchild; } } if (parent->key < key) { parent->rchild = pNewNode; } else { parent->lchild = pNewNode; } return 0; } } //删除节点 /* 通过值查找并删除一个结点 */ int delNode(BSTree **tree, KeyType key) { BSTNode *p = NULL, *q = NULL, *parent = NULL, *child = NULL; p = *tree; /* parent为NULL表示根结点的父亲为NULL */ while (NULL != p) { if (p->key == key) { break; } else { parent = p; p = (p->key < key) ? p->rchild : p->lchild; } } /* p为NULL时， 表示没有找到结点值为key的结点 */ if (NULL == p) { return 0; } /* p, q现在都是保存了待删结点指针 */ q = p; /* 待删结点有两个儿子结点，进行一下转化 */ if (NULL != p->lchild && NULL != p->rchild) { //找中序后继，先右拐，然后左走到底 parent = p; p = p->rchild; while (NULL != p->lchild) { parent = p; p = p->lchild; } /* p中保存了待删结点右子树中最左下的结点指针， parent中就保存了该结点父亲指针 */ child = p->rchild; } /* parent保存待删结点的父亲结点指针， child保存了待删结点的儿子结点 //实际删除的是待删节点的直接后继，下面是删除直接后继的过程，（待删结点至多只有一个儿子， 有两个会转化为0个或1个右结点） 待删结点是根结点 */ if (NULL == parent) { *tree = child; } else { /*待删结点是父亲结点的左儿子*/ if (parent->lchild == p) { parent->lchild = child; } else { parent->rchild = child; } //将实际删除的节点的key值赋给原先要删除的节点 if (p != q) { q->key = p->key; } } free(p); return 0; } //二叉排序树查找 BSTNode* SearchBST(BSTree *T,KeyType key) { //在二叉排序树T上查找关键字为key的结点,成功时返回该结点位置,否则返回NUll if(T==NULL) //递归的终结条件 return NULL; //T为空,查找失败; if(key==T->key) //成功,返回找到的结点位置 { printf("Got it!"); return T; } if(key<T->key) return SearchBST(T->lchild,key); else return SearchBST(T->rchild,key);//继续在右子树中查找 } //SearchBST int main() { int n; BSTree *B=NULL; printf("Input number to initialize a BSTree:"); while(1) { scanf("%d",&n); if(n==0) break; InsertNode(&B, n); } dispTree(B); printf("PreOrder："); preOrder(B); printf("\n"); printf("Search a node:"); scanf("%d",&n); SearchBST(B,n); printf("\n"); printf("Delete a node:"); scanf("%d",&n); delNode(&B,n); dispTree(B); printf("PreOrder："); preOrder(B); printf("\n"); return 1; }